Geometriya
Manba: ÖzME, 2-jild (2000–2005), «Özbekiston milliy ensiklopediyasi» Davlat ilmiy naşriyoti · elektron nusxa: ziyouz.com kutubxonasi, 208–210-b. — ziyouz.com
Matn sifati past bölişi mumkin. Bu maqola PDF'dagi buzuq belgilar bilan olingan (işonç 50%): ayrim söz va raqamlar xato bölişi mumkin — iqtibos keltirişdan oldin asl matn bilan solişting.
Geometriya (geo... va metriya) — mat. ning predmet şakllari va şakliy munosabatlarini örganadigan bölimi. Yer ölçaş b-n boğliq ravişda paydo bölgan. Nomi şundan. Mas, oçiq silindrsimon idişning şakli, hajmi, sirtining yuzi G. örganiş obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa G.ni qiziqtirmaydi. Şuningdek, asosi doyra bölsa ham, şaklda ellips b-n tasvirlanişi G.ga mansub munosabatdir. G. tu-şunçalarni mavhumlaştirib, ideallaştirib örganadi. Mac, silindrsimon idişning asosi doiradan bir oz farq qilişi, yasovçisi töppa-töğri bölmasligi mumkin, sirti qalinlikka ega, asosi b-n yon sirti tik tutaşmay, silliqlangan böladi, lekin G.da bu kabi tafeilotlar soqit qilinadi. Şunday yöl b-n ölçamlarga ega bölmagan nuqta, har ikki tomonga çeksiz davom etuvçi töğri çiziq kabi tuşunçalar, parallellik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, ma'lum ma'noda mutlaq va universal tabiatli qonuniyatlar aniqlanadi. G.ga oid dastlabki ma'lumotlar Qad. Bobil va Misrda kuzatuv yöli (empirik usul) b-n töplangan. Mas, bir juft parallel töğri çiziqni uçinçi töğri çiziq kesib ötsa, hosil bölgan 8 ta burçakdan törttadani özaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik bölgan uçburçakning bir burçagi töğri. Geometrik xossalarni töplaş yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida muşohada ayrim dalillarni boşqalaridan sof mantiqiy yöl b-n çiqarişga olib kelgan. Tayin geometrik xossani mantiqiy muşohada b-n keltirib çiqariş isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boşlagan. Dastlabki şunday dalillardan biri Fales (mil. av. 625-548 y.lar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademiyasida mantiq va mat. muhim örin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlaş b-n şuğullanişgan. Tabiiyki, bunda imkoni boriça oz dalildan boşqa barça dalillarni keltirib çiqarişga urinilgan. Bu urinişlar yakuni sifatida Yevklid özining maşhur «Negizlar» asarini yaratadi. Bu asar nafaqat mat. tarixida, balki umuman tafakkur taraqqiyotida beqiyos örin tutib, 2000 yil da-vomida mantiqiy muşohada namunasi bölib xizmat qildi. «Negizlar» da Yevklid nuqta, töğri çiziq, tekislik, tenglik, töğri çizik yoki tekislikning nuktadan ötişi (insidentlik) kabi tuşunçalarni asos qilib olib, kesma, burçak, köpburçak, parallellik, perpendikulyarlik kabi tuşunçalarga ta'rif beradi. Xuddi şu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib çiqaradi. Qad. Misr va Bobilda G. amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini ölçaş, navigatsiya, astronomiya, me'morlik masalalarini hal qiliş uçun vujudga kelgan bölsa, Yunonistonda G. san'at sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erişdi. Xususan, sirkul va çizğiç yordamida şakllar yasaş rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erişgan darajasi şundan ham körinadiki, ular qöygan muntazam köpburçaklar yasaş masalasi 1796 y. (K. F. Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882 y.dagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va b. ayrim egri çiziqli şakllar yuzlari, piramida, konus va şar hajmlarini hisoblaşda integral hisob elementlari qöllaganlar (Arximed va b.). Pergalik Apolloniyga mansub konus kesimlari nazariyasini esa şubhasiz yunon G.sining gultojisi deyiş mumkin. Mil.ning 3-asridan keyin yunon G.si umuman madaniyat b-n birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin G. arab şarqi mamlakatlari, Örta Osiyo va Hindistonda taraqqiy qila bordi. 7—8-a.lar davomida Hindistonda G.ga oid ayrim yutuqlar qölga kiritilgan bölsa ham (mas, aylanaga içki çizilgan törtburçak yuzi uçun Brahmagupta formulasi), fan tarixidagi uyğoniş 9-a.dan arab tilida ijod qilgan Yaqin va Örta Şarq, xususan, örta osiyolik olimlar faoliyati b-n boğliq. Ahmad al-Farğoniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.). Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boşladi. Bu ğoyalar 16-a.dan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P. Ferma, R. Dekart). Şu davrdan boşlab me'morlik va tasviriy san'at yuksalişi munosabati b-n perspektiv akslantiriş xossalari örganildi va proyektiv geometriya vujudga keldi. 18-a.da differensial va integral hisob ixtiro qilingaç, G. masalalarini yeçişning standart usullari işlab çiqildi va silliq çiziqlar hamda sirtlarni örganuvçi differensial geometriya rivojlandi. Yassi çiziq, fazodagi çiziq va sirt mos ravişda x = x ( t ) U = AO x = x(t) U = y{t) z = z(t) x = x(u, v) = y(u,v) = z(u,v) körinişdagi formulalar b-n beriladi. Mac, x=('/J+rcosv/)cosi/, y-(R+ +rcosv)s'inu, z—rsinv tenglamalar tor deb ataluvçi sirt hosil qiladi (5-rasm). Agar bu yerda u-2t, v=3r deb olin-sa, tor ustida yotuvçi çiziq tenglamasi hosil qilinadi (u tugunli bölib, uç yaproq deb ataladi). B. Riman kiçik bölaklari yuqoridagi kabi sistemalar b-n beriladigan obyektlar u-ixtiyoriy ölçamli qurama (manyfold) tuşunçasini kiritdi. Şundan söng G. butun mat. uçun kuçli qurolga aylandi (S. Li, E. Kartan va b.). Xususan, bu yondaşuv nisbiylik nazariyasida muhim tatbiqlar topdi. 19-a. oxiri va 20-a. boşida çiziqlar, sirtlar va quramalarning göyo rezinkadan yasalgan deb istalgança deformatsiyalaganda özgarmaydigan xossalari yiğilib bordi. Ularni örganişda differensial hisob usullari yetmas yoki ojizlik qilar edi. Mas, Myobius yaproğining faqat bitta tomoni borligi, uç yaproq tugunini yeçib bölmasligi şunday xossalarga kiradi. Bu masalalar G.ning yangi bölimi — topologiya tuğilişiga olib keldi. U esa, öz navbatida, 20-a. mat.sini ifodalovçi G., algebra va funksiyalar nazariyasining sintezidan iborat yönaliş — xilma-xil fazolarni örganişga poydevor böldi. Yevklidning «Negizlari» 2000 yil davomida mantiqiy qat'iylik namunasi bölib kelganligiga qaramay, uning ayrim örinlariga tanqidiy nazar b-n qaralib takomillaştirilgan: boşlanğiç tuşunçalar tarkibi qayta körib çiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari b-n töldirilgan, qator aksiomalar esa boşqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga ötkazilgan. Bu iş D. Gilbertning «Geometriya asoslari» asarida yakunlandi. Deyarli Yevklid zamonidan boşlab uning 5-postulati yoki unga teng kuçli parallellik aksiomasini isbotlaşga juda köp urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G. Lambert), çunki matematiklarda u teorema bölişi kerak degan işonç hukm surgan, xilma-xil «isbotlar» ham taklif etilgan, lekkn bu isbotlarning barçasida mantiqiy nosozlik uçraydi — Yevklid aksiomasiga teng kuçli boşka tasdikdan (mas, uçburçak burçaklarining yigindisi 180° ga tengligidan) foydalanib ketilgan. Bu sohadagi izlanişlar avval Yevklid G.sidan parallellik aksiomasi soqit qilingan mutlaq G., söng parallellik aksiomasi örniga uning inkori aksioma qilib olingan noyevklid G. (Lobaçevskiy geometriyasi, 1826 y.) ixtiro qilinişiga olib keldi. Yevklid G.si ham, noyevklid G. ham bir xil darajada ziddiyatdan xoli ekanligini qatiy isbotlagan F. Kleyn gruppa tuşunçasi yordamida G. sohalarining tasnifini berdi (Erlangen dasturi). Unga muvofiq har bir G. özining geometrik almaştirişlar gruppasi b-n ifodalanadi. Şakllarning bunday almaştirişlarda özgarmay qoladigan (invariant) xossalari tegişli G. Sohalarining örganiş obyekti böladi. Kleyn nuqtai nazaridan maxsus nisbiylik nazariyasi Lorens gruppasiga mos keluvçi G.dir. Şakllarning xossalarini örganişda ularning kölamiga qarab G. yana ikki turga bölinadi: şakllarning kiçik (mahalliy) sohalari xossalarini örganuvçi sohalar geometriyasi va şakllarni yaxlit obyekt sifatida örganuvçi töla (global) G. Hozirgi davrda G. matematikaning barça sohalarida, şakl va holatlarga doir tuşunçalarni tasavvur qilişda qöllanilmoqda. Özbekistonda ham G. tarixiga oid tadqiqotlar olib boriladi (G. P. Matviyevskaya, A. Ahmedov va b.)- ÖzMU, SamDU matematiklari tomonidan G. rivojlantirilmoqda. Abdulla A'zamov.
Asl matn (kirill, PDF'dagidek)
ГЕОМЕТРИЯ (гео... ва метрия) — мат. нинг предмет шакллари ва шаклий муносабатларини ўрганадиган бўлими. Ер ўлчаш б-н боғлиқ равишда пайдо бўлган. Номи шундан. Мас, очиқ цилиндрсимон идишнинг шакли, ҳажми, сиртининг юзи Г. ўрганиш объектлари, унинг ранги ёки қандай моддадан ясалгани эса Г.ни қизиқтирмайди. Шунингдек, асоси дойра бўлса ҳам, шаклда эллипс б-н тасвирланиши Г.га мансуб муносабатдир. Г. ту-шунчаларни мавҳумлаштириб, идеаллаштириб ўрганади. Mac, цилиндрсимон идишнинг асоси доирадан бир оз фарқ қилиши, ясовчиси тўппа-тўғри бўлмаслиги мумкин, сирти қалинликка эга, асоси б-н ён сирти тик туташмай, силлиқланган бўлади, лекин Г.да бу каби тафеилотлар соқит қилинади. Шундай йўл б-н ўлчамларга эга бўлмаган нуқта, ҳар икки томонга чексиз давом этувчи тўғри чизиқ каби тушунчалар, параллеллик, симметриклик каби муносабатлар ҳосил қилинади. Бунинг эвазига татбиқ доираси жуда кенг, маълум маънода мутлақ ва универсал табиатли қонуниятлар аниқланади. Г.га оид дастлабки маълумотлар Қад. Бобил ва Мисрда кузатув йўли (эмпирик усул) б-н тўпланган. Мас, бир жуфт параллел тўғри чизиқни учинчи тўғри чизиқ кесиб ўтса, ҳосил бўлган 8 та бурчакдан тўрттадани ўзаро тенг; томонлари 3, 4 ва 5 бирлик бўлган учбурчакнинг бир бурчаги тўғри. Геометрик хоссаларни тўплаш юнонлар томонидан давом эттирилган. Бу муаммо устида мушоҳада айрим далилларни бошқаларидан соф мантиқий йўл б-н чиқаришга олиб келган. Тайин геометрик хоссани мантиқий мушоҳада б-н келтириб чиқариш исбот, исботланган хосса эса теорема деб атала бошлаган. Дастлабки шундай далиллардан бири Фалес (мил. ав. 625-548 й.лар) теоремасидир. Юнон файласуфи Пифагор академиясида мантиқ ва мат. муҳим ўрин тутиб, мунтазам теоремалар исботини излаш б-н шуғулланишган. Табиийки, бунда имкони борича оз далилдан бошқа барча далилларни келтириб чиқаришга уринилган. Бу уринишлар якуни сифатида Евклид ўзининг машҳур «Негизлар» асарини яратади. Бу асар нафақат мат. тарихида, балки умуман тафаккур тараққиётида беқиёс ўрин тутиб, 2000 йил да-вомида мантиқий мушоҳада намунаси бўлиб хизмат қилди. «Негизлар» да Евклид нуқта, тўғри чизиқ, текислик, тенглик, тўғри чизик ёки текисликнинг нуктадан ўтиши (инцидентлик) каби тушунчаларни асос қилиб олиб, кесма, бурчак, кўпбурчак, параллеллик, перпендикулярлик каби тушунчаларга таъриф беради. Худди шу сингари 10 та геометрик далилни исботсиз қабул қилади (улар аксиомалар ва постулатлар деб аталган) ва бирин-кетин теоремаларни келтириб чиқаради. Қад. Миср ва Бобилда Г. амалий эҳтиёжлар: майдонлар юзини ўлчаш, навигация, астрономия, меъморлик масалаларини ҳал қилиш учун вужудга келган бўлса, Юнонистонда Г. санъат сифатида ҳам ривожланиб, юксак натижаларга эришди. Хусусан, циркуль ва чизғич ёрдамида шакллар ясаш ривож топди. Юнонларнинг бу соҳада эришган даражаси шундан ҳам кўринадики, улар қўйган мунтазам кўпбурчаклар ясаш масаласи 1796 й. (К. Ф. Гаусс), дойра квадратураси масаласи эса 1882 й.дагина (Ф.Линдеманн) ҳал қилинди. Юнонлар доира ва б. айрим эгри чизиқли шакллар юзлари, пирамида, конус ва шар ҳажмларини ҳисоблашда интеграл ҳисоб элементлари қўллаганлар (Архимед ва б.). Пергалик Аполлонийга мансуб конус кесимлари назариясини эса шубҳасиз юнон Г.сининг гултожиси дейиш мумкин. Мил.нинг 3-асридан кейин юнон Г.си умуман маданият б-н бирга инқироз томон юз тутди, лекин Г. араб шарқи мамлакатлари, Ўрта Осиё ва Ҳиндистонда тараққий қила борди. 7—8-а.лар давомида Ҳиндистонда Г.га оид айрим ютуқлар қўлга киритилган бўлса ҳам (мас, айланага ички чизилган тўртбурчак юзи учун Браҳмагупта формуласи), фан тарихидаги уйғониш 9-а.дан араб тилида ижод қилган Яқин ва Ўрта Шарқ, хусусан, ўрта осиёлик олимлар фаолияти б-н боғлиқ. Аҳмад ал-Фарғоний стереографик проекцияга оид Птолемей қолдирган теоремаларнинг исботини берди, текислик тригонометрияси ва сферик тригонометрия яратилди (Баттоний, Беруний, Насриддин Тусий, Абул-Вафо ва б.). Алгебра геометрияга ва геометрия алгебрага татбиқ қилина бошлади. Бу ғоялар 16-а.дан Европа олимлари томонидан ривожлантирилиб, аналитик геометрияга асос солинди, (П. Ферма, Р. Декарт). Шу даврдан бошлаб меъморлик ва тасвирий санъат юксалиши муносабати б-н перспектив акслантириш хоссалари ўрганилди ва проектив геометрия вужудга келди. 18-а.да дифференциал ва интеграл ҳисоб ихтиро қилингач, Г. масалаларини ечишнинг стандарт усуллари ишлаб чиқилди ва силлиқ чизиқлар ҳамда сиртларни ўрганувчи дифференциал геометрия ривожланди. Ясси чизиқ, фазодаги чизиқ ва сирт мос равишда x = x ( t ) У = АО х = x(t) У = y{t) z = z(t) x = x(u, v) = y(u,v) = z(u,v) кўринишдаги формулалар б-н берилади. Mac, x=(‘/J+rcosv/)cosi/, y-(R+ +rcosv)s’inu, z—rsinv тенгламалар тор деб аталувчи сирт ҳосил қилади (5-расм). Агар бу ерда u-2t, v=3r деб олин-са, тор устида ётувчи чизиқ тенгламаси ҳосил қилинади (у тугунли бўлиб, уч япроқ деб аталади). Б. Риман кичик бўлаклари юқоридаги каби системалар б-н бериладиган объектлар у-ихтиёрий ўлчамли қурамa (manyfold) тушунчасини киритди. Шундан сўнг Г. бутун мат. учун кучли қуролга айланди (С. Ли, Э. Картан ва б.). Хусусан, бу ёндашув нисбийлик назариясида муҳим татбиқлар топди. 19-а. охири ва 20-а. бошида чизиқлар, сиртлар ва қурамаларнинг гўё резинкадан ясалган деб исталганча деформациялаганда ўзгармайдиган хоссалари йиғилиб борди. Уларни ўрганишда дифференциал ҳисоб усуллари етмас ёки ожизлик қилар эди. Мас, Мёбиус япроғининг фақат битта томони борлиги, уч япроқ тугунини ечиб бўлмаслиги шундай хоссаларга киради. Бу масалалар Г.нинг янги бўлими — топология туғилишига олиб келди. У эса, ўз навбатида, 20-а. мат.сини ифодаловчи Г., алгебра ва функциялар назариясининг синтезидан иборат йўналиш — хилма-хил фазоларни ўрганишга пойдевор бўлди. Евклиднинг «Негизлари» 2000 йил давомида мантиқий қатъийлик намунаси бўлиб келганлигига қарамай, унинг айрим ўринларига танқидий назар б-н қаралиб такомиллаштирилган: бошланғич тушунчалар таркиби қайта кўриб чиқилган, нуқталарнинг тартибига оид ва узлуксизлик аксиомалари б-н тўлдирилган, қатор аксиомалар эса бошқалари орқали исботланиб, теоремалар қаторига ўтказилган. Бу иш Д. Гильбертнинг «Геометрия асослари» асарида якунланди. Деярли Евклид замонидан бошлаб унинг 5-постулати ёки унга тенг кучли параллеллик аксиомасини исботлашга жуда кўп уринилган (жумладан, Насриддин Тусий, Умар Хайём, И. Г. Ламберт), чунки математикларда у теорема бўлиши керак деган ишонч ҳукм сурган, хилма-хил «исботлар» ҳам таклиф этилган, леккн бу исботларнинг барчасида мантиқий носозлик учрайди — Евклид аксиомасига тенг кучли бошка тасдикдан (мас, учбурчак бурчакларининг йигиндиси 180° га тенглигидан) фойдаланиб кетилган. Бу соҳадаги изланишлар аввал Евклид Г.сидан параллеллик аксиомаси соқит қилинган мутлақ Г., сўнг параллеллик аксиомаси ўрнига унинг инкори аксиома қилиб олинган ноевклид Г. (Лобачевский геометрияси, 1826 й.) ихтиро қилинишига олиб келди. Евклид Г.си ҳам, ноевклид Г. ҳам бир хил даражада зиддиятдан холи эканлигини қатьий исботлаган Ф. Клейн группа тушунчаси ёрдамида Г. соҳаларининг таснифини берди (Эрланген дастури). Унга мувофиқ ҳар бир Г. ўзининг геометрик алмаштиришлар группаси б-н ифодаланади. Шаклларнинг бундай алмаштиришларда ўзгармай қоладиган (инвариант) хоссалари тегишли Г. Соҳаларининг ўрганиш объекти бўлади. Клейн нуқтаи назаридан махсус нисбийлик назарияси Лоренц группасига мос келувчи Г.дир. Шаклларнинг хоссаларини ўрганишда уларнинг кўламига қараб Г. яна икки турга бўлинади: шаклларнинг кичик (маҳаллий) соҳалари хоссаларини ўрганувчи соҳалар геометрияси ва шаклларни яхлит объект сифатида ўрганувчи тўла (глобал) Г. Ҳозирги даврда Г. математиканинг барча соҳаларида, шакл ва ҳолатларга доир тушунчаларни тасаввур қилишда қўлланилмоқда. Ўзбекистонда ҳам Г. тарихига оид тадқиқотлар олиб борилади (Г. П. Матвиевская, А. Аҳмедов ва б.)- ЎзМУ, СамДУ математиклари томонидан Г. ривожлантирилмоқда. Абдулла Аъзамов.
Matn ÖzME'dan o'zgartirişsiz olingan, faqat yozuvi yangi alifboga o'girilgan. Qisqartmalar asl holida. Xato ko'rsangiz — xabar bering.