Matematika
Manba: ÖzME, 5-jild (2000–2005), «Özbekiston milliy ensiklopediyasi» Davlat ilmiy naşriyoti · elektron nusxa: ziyouz.com kutubxonasi, 286–293-b. — ziyouz.com
Matn sifati past bölişi mumkin. Bu maqola PDF'dagi buzuq belgilar bilan olingan (işonç 75%): ayrim söz va raqamlar xato bölişi mumkin — iqtibos keltirişdan oldin asl matn bilan solişting.
Matematika (yun. mathematike, mathema — bilim, fan) — aniq mantiyey muşohadalarga asoslangan bilimlar haqidagi fan. Dastlabki obyekti sanoq bölgani uçun köpinça unga «qisobkitob haqidagi fan» deb qaralgan' (bugungi M.da hisoblaşlar, hatto formulalar ustidagi amallar juda kiçik örin egallaydi). M. eng qad. fan sohasi bölib, uzoq rivojlaniş tari-xini bosib ötgan va buning barobarida «M. nima?» degan savolga javob ham özgarib, çuqurlaşib borgan. Yunonistonda M. deganda geometriya tuşunilgan. 9—13-a.larda M. tuşunçasini algebra va trigonometriya kengaytirgan. 17—18-a.larda M.da analitik geometriya, differensial va integral hisob asosiy örinni egallaganidan söng, to 20-a. boşlarigaça u «mikdoriy munosabatlar va fazoviy şakllar haqidagi fan» mazmunida ta'riflangan. 19-a. oxiri va 20-a. boşlarida turli geometriyalar (Lobaçevskiy geometriyasi, Proyektiv geometriya, Riman geo-metriyasi kabi), algebralar (Bul algebrasi, kvaternionlar algebrasi, Keli algebrasi kabi), çeksiz ölçovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, köpinça sun'iy tabiatli obyektlar örganila boşlanişi b-n M.ning yuqoridagi ta'rifi öta tor bölib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va töplamlar nazariyasi asosida öziga xos muşohada uslubi hamda tili şakllanişi natijasida M.da eng asosiy xususiyat — qat'iy mantiqiy mu-şohada, degan ğoya vujudga keldi (J. Peano, G. Frege, B. Rassel, D. Xil-bert). 20-a. örtalarida Burbaki taxallusi ostida M. ta'rifini qayta körib çiqqan bir guruh fransuz matematiklari bu ğoyani rivojlantirib, «M. — matematik strukturalar haqidagi fan» degan ta'rif kiritdi. Bu yondaşuv av-valgi ta'riflarga köra kengroq va aniqroq bölsada, baribir çeklangan edi — strukturalar örtasidagi munosabatlar (mas, matematika, kategoriyalar nazariyasi, algebraik topologiya), amaliy hamda tatbiqiy nazariyalar, xususan, fizika, texnika va ijtimoiy fanlarda matematik modellar bu ta'rif doirasiga siğavermas edi. Sönggi asrda xilma-xil matematik obyektlar orasida juda çuqur munosabatlar mavjudligi va aynan şunga asoslangan natijalar M.ning bundan buyongi taraqqiyotida asosiy örinni egallaşini körsatmoqda. Elektron hisoblaş vositalari b-n birga M. tatbiklarining kengayişi (biometriya, sotsiometriya, ekonometrika, psixometriya va b.), matematik usullar hayotining turli sohalariga jadal sur'atlar b-n kirib borayotgani ham M. pred-metini ixçam ta'rif b-n qamrab bölmaydigan darajada kengaytirib yubordi. Demak, M. aksiomatik nazariyalar va matematik modellarni, ular orasidagi munosabatlarni örganadigan, xulosalari qat'iy mantiqiy mu-şohadalar orqali asoslanadigan fandir.
Dastlab oddiy sanoq sonlar va ular ustidagi arifmetik amallardan boşlangan matematik bilimlar umuminsoniy taraqqiyot b-n birga kengayib va çuqurlaşib borgan. Eng qad. yozma manbalardayoq (mas, matematik papirus lar) kayerlar ustida amallar va çiziqli tenglamalarni yeçişga doyr misollar uçraydi. Suğorma dehqonçilik, me'morlikning rivojlanişi, astro-nomik kuzatuvlarning ahamiyati ortişi geometriyaga oid dalillar jamğarilişiga olib kelgan. Mas, Qad. Misrda tomonlari 3, 4 va 5 birlik bölgan uçburçak töğri burçakli bulişidan foydalanilgan. Bu davr M.sining oliy yutuqlarini muntazam törtburçakli kesik piramida hajmini hisoblaş qoidasi (hoz. yozuvda V— (a2 + ab + b2) L/3 formulaga mos keladi) va l= (16/9)2 taqribiy qiymatini misollarida köriş mumkin.
Yunonistonda geometrik xossalar faqat kuzatuv va tajriba yöli b-ngina topilmay, avvaldan ma'lum xossalardan keltirib çiqarilişi mumkinligi ham payqalgan hamda deduktiv isbot ğoyasi rivojlantirilgan (Fales, Pifagor va b.). Bu ğoyaning çöqqisi Evklidning «Negizlar» asarida geo-metriyaning aksiomatik qurilişi böldi. Bu kitob M.ning keyingi rivojiga katta ta'sir qildi va 19-a. boşlarigaça mantiqiy bayonning mukammalligi böyiça namuna bölib keldi. Yunonlar M.ni geometriya b-n tenglaştirib, san'at darajasiga kötarganlar. Buning natijasida planimetriya va stereometriya ança mukammal darajaga yetgan. Faqat 5 xil qavariq muntazam kupyoqlikning mavjudligi (Platon), kvadratning tomoni b-n diagonali umumiy ölçovga ega emasligi (Pifagor), nisbatlar nazariyasiga asoslangan son tuşunçasi (Evdoks), qamraş usuli b-n egri çiziqli şakllar yuzi va yey uzunligini, jismlar hajmini hisoblaş, Geron formulasi, konus kesimlari (Apolloniy, Pergayos), sterografik proyeksiya (Ptolemey), geometrik yasaşlar va şu munosabat b-n turli egri çiziqlarning örganilişi yunon geometriyasining taraqqiyot darajasi haqida tasavvur beradi. Yunon olimlari qöygan burçak triseksiyasi, kubni ikkilaş, doyra kvadraturasi, muntazam köpburçak yasaş masalalari 19-a.ga kelib öz yeçimini topdi, mukammal va «döst» sonlar haqidagi muammolar esa hamon oçikligiça qolmoqda. Ayniqsa, Arximed tadqiqotlarida yunon M.si öz davridan juda ilgarilab ketgan — u integral hisob, oğirlik markazi ğoyalarini qöllagan. Yunon olimlari trigonometriyaga oid dastlabki ma'lumotlarga ham ega bölganlar (Gipparx, Ptolemey), Diofantning «Arifmetika» asarida sonlar nazariyasiga oid masalalar qaralgan.
Ayni paytda M. Qad. Xitoy va Hindistonda ham taraqqiy topdi. «Töqqiz kitobli matematika» nomli xitoy manbaida (mil. av. 2—1 a.lar) natural sonlardan kvadrat va kub ildiz çiqariş qoidalari berilgan. Keyinroq xitoy olimlari çiziqli tenglamalar sistemasi va çegirmalar nazariyasi b-n şu-ğullanib, xususan, «qoldiqlar xakidagi xitoy teoremasi»ni topganlar. 5-a.da Szu Çun-çji k soni 3,1415926 b-n 3,1415927 oraliğida bölişini körsatgan.
Hindistonda M. Ariabhata (5-a.), Brahmagupta (7-a.), Bxaskara (12-a.) işlarida rivojlantirilgan. Hind
M.sining olamşumul yutuği önli sanoq sistemasi va 0 raqamining ixtiro qilinişidir. Şuningdek, hind olimlari manfiy sonlar va irratsional ifodalar b-n taniş bölganlar, geometriyada muhim natijalarni qölga kiritganlar.
Yunon, xitoy va hind M.si bir-biridan deyarli mustaqil holda mavjud bölgan. 3—4-a.larga kelib Yunonistonda fan inqirozga uçraydi, mavjud asarlar ham unutila boşlaydi. Yevropa sivilizatsiyasining bundan keyin to Uyğoniş davrigaça bölgan davri «zulmat asrlari» deb atalgan (A. Mets). 7-a.da islom dini tarqalişi va Arab xalifaligi vujudga kelişi b-n fan hamda madaniyat yuksalişi uçun yangi şaroit tuğildi. Horun arraşid davrida xalifalik poytaxti Bağdod yirik şaharga aylanib, bu yerga turli mintaqalardan olimlar kela boşlaydi. Ular dastlab yunon, suryoniy va hind tilidagi asarlarni arabçaga ögiriş b-n şuğullangan. Xuroson va Mo-varounnahr voliysi etib tayinlangan Horun arraşidning öğli Ma'munning ilmparvarligi tufayli Marvga örtaosiyolik olimlar yiğila boşlaydi. 813 yilda xalifalikka ötirgan Ma'mun Marvdagi olimlar tögaragini Bağdodga olib ketadi va maşhur «Bayt ul-hikmat» (Ma'mun akademiyasi)ga asos soladi. Bu ilmiy muassasaga Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy rahbarlik qilgani haqida ma'lumotlar saqlangan. «Bayt ul-hikmat»da, şuningdek, Axmad al-Farğoniy, Ibn Turk al-Xuttaliy, Habaş Hosib al-Marvaziy, Muso ibn Şokir öğillari kabi köplab örtaosiyolik olimlar faoliyat körsatgani bu ölkada arablar istilosiga qadar ham fan rivojlanganligi, xususan, yoş iktidorli olimlar çiqişi uçun qulay muhit mavjud bölganligidan dalolat beradi.
9-a.dan fan tarixi «Musulmon renessansi» deb nomlangan yangi yuksaliş davriga kiradi. «Bayt ul-xikmat»da Yunoniston, Hindiston, Xorazm va Xitoyda jamgarilgan bilimlar sintez qilinib, M. izçil rivojlantirila boşlandi. Xorazmiy tarqoq bilimlarni tartibga keltirib, algebraga asos soladi. Uning önli sanoq sistemasi bayon qilingan asari tufayli bu qulay hisoblaş vositasi dunyoga yoyildi. Asarlari öqimişli bölişi uçun Xorazmiy anik, va lönda bayon uslubini qöllagan. Şu tufayli uning asarlari keng tarqalgan. Xorazmiy uslubi yevropalik tarjimonlar tomonidan muallif nomi b-n algoritm deb atalgan.
Musulmon Şarqi olimlari geometriyani ham rivojlantirgan (Sobit ibn Qurra, Abulvafo, Umar Xayyom), tirgonometriyaga fan sifatida asos solganlar (Ibn al-Xaysam, Beruniy, Tusiy), xususan, Ahmad al-Farğoniy tomonidan Ptolemeyning stereografik proyeksiya haqidagi teoremasining isbotlanişi Bağdod akademiyasida geometriya çuqur örganilganini körsatdi. Arab tilida ijod qilgan matematiklarning uçinçi va törtinçi darajali tenglamalarni geometrik usulda yeçiş yöllari keyinçalik analitik geometriya yaratilişiga turtki bölgan.
M. rivojlanişida Xorazm Ma'mun akademiyasi (Ibn Iroq, Beruniy) ham muhim rol öynagan. Şarq M.si rivojining çöqqisi esa Samarqand ilmiy maktabi davriga töğri keladi. Uluğbek va uning rahbarligidagi olimlar (Qozizoda Rumiy, Ğiyosiddin Koşiy, Ali Quşçi, Miram Çalabiy, Husayn Birjaniy va b.) ulkan rasadxona quriş, yulduzlar koordinatalari va sayyoralar harakatini katta anikdikda kuzatiş işlari b-n birga kuzatuv natijalari buyiça yoritqiçlarning sferik koordinatalarini hisoblaş usullarini, interpolyatsiya formulalari, keyinçalik Gorner sxemasi deb atalgan usulni hamda ketma-ket yaqinlaşişlar usulini işlab çiqadilar. Uluğbekning «Ziji jadidi Köragoniy» asaridan öta aniqlikdagi trigonometrik funk-siyalar jadvallari ham örin olgan.
Ulkan hajmdagi hisoblaş işlarini bajariş uçun Uluğbek rasadxonasi qoşida maxsus guruh — öziga xos hisoblaş markazi tuzilgan. Bunda mas, x = sin G ni aniqlaş uçun avval geometrik usul b-n sin 3° hisoblangan, söngra sin3a = 3sinacos2a — sin3a formula asosida x3-45xf0,785039343364006=0 tenglama tuzilib, sin G= 0,0174524066437283571qiymati topilgan. Koşiy aylanaga muntazam 3-228 burçak çiziş yöli b-n j sonini verguldan söng 17 xona aniklikda hisoblagan.
16-a.dan Şarkda fan inqiroz sari yuz tutdi. Islom dunyosi olimlarining asarlari 10—12-a.lardan Yevropagatarqalib, tarjima qilina boşlangan va M.ning 16-a.dan jadal rivojlaniş yöliga kirişi uçun zamin hozirlagan. Jumladan, al-Xorazmiy, al-Farğoniy asarlari Ispaniya va Italiya orqali, Uluğbekning «Ziji jadidi Köragoniy» asari Istanbul orqali Yevropaga kirib borgan. Bu asarlar ta'sirida Italiyada M.ga qiziqiş kuçaydi (L. Fibonaççi, L. Paçoli, N. Tartalya). Arifmetik amallar qatoridan daraja, ildiz va logarifm örin egallaydi. Uçinçi va turtinçi darajali tenglamalarning ildizlari haqiqiy bölsada, manfiy sondan kvadrat ildiz vositasidagina yeçiş mumkinligi kompleks sonlarga ehtiyoj tuğdiradi.
17-a.dan M. tarixiningJ. Vallis, I. Kepler, R. Dekart, B. Kavalyeri, P. Ferma, F. Viyet va B. Paskal nomlari b-n boğliq yangi davri boşlanadi. Matematik belgilaşlar keng joriy etiladi. Bu, öz navbatida, M. rivojiga ijobiy ta'sir etadi, analitik geometriya, proyektiv geometriya, ehtimollar nazariyasi va sonlar nazariyasiga asos soladi. Birin-ketin oçila boşlagan un-tlarda M. asosiy predmetga aylanadi.
Bu davrda fransuz olimi M. Mersenn orqali dunyo olimlari örtasida olib borilgan özaro yozişmalar tufayli dastlabki xalqaro matematiklar jamoasi vujudga keldi, ular örtasida ilmiy musobaqa muhiti kuçaydi, natijada yangi obyektlar (çiziqlar va tenglamalar) tadqiqotga tortildi, ekstremum topiş, urinma yasaş, yuzlarni hisoblaş, kombinatorikaga oid yangi masalalar qöyiş rayem böldi, funksiyalar, ya'ni özgarişi bir-biri b-n boğliq kattaliklar b-n işlaşga töğri kela boşladi. Bunday masalalarni yeçişda elementar usullar yetişmagani uçun çeksiz marta takrorlanadigan amallarga murojaat eta boşladilar. B. Kavalyeri aylanma jismlar hajmini hisoblaşda «bölinmaslar usuli»ni qölladi, F. Viyet ayniyatni, J. Vallis 12.32.52.72,. tenglikni, N. Merkator formulani topdi. I. Barrou egri çiziqli t-rapetsiya yuzi b-n urinmaning özgarişi orasidagi munosabatni payqadi. 17-a. oxirida bu yönalişdagi izlanişlar differensial va integral hisob yaratilişiga olib keladi. G. Leybnits yangi hisobga «çeksiz kiçik» kattaliklar tuşunçasini asos kilib oldi — bunday kattaliklar öz holiça aniq ma'noga ega bölmasada, ularning nisbatlari va çeksiz yiğindilari tayin qiymatlarga teng çiqar edi. Leybnits bu usul b-n geometriyaning avvaldan yeçilmay kelgan köplab muammolarini hal etiş mumkinligini körsatdi (1782—86 yy.).
I. Nyuton differensial va integral hisob ğoyasiga boşqa tomondan — mexanika masalalari orqali yondaşdi. Bu yerda ham ahvol geometriyaga öxşaş edi: tekis harakatlarni örgangan G. Galiley uçun elementar geometriya ki-foya qilgan bölsa, murakkabroq harakatlar murakkabroq çiziqlarni tekşirişni talab etar edi. I. Nyuton 1669 y.da bu mavzudagi tadqiqotlari jamlangan «Flyuksiyalar metodi» nomli asarini I. Barrou va J. Kollinzga taqdim etgan, lekin u 1736 y.da naşr etilgan.
18-a.da M. taraqqiyoti, asosan, differensial va integral hisobni rivojlantiriş hamda tatbiq etiş b-n boğliq böldi. Bernullilar oilasi, Eyler, D'alamber, Lagranj, Lejandr va Laplas kabi köplab atoqli olimlar yangi sohani atrofliça rivojlantirib, matematik analiz nomi b-n kuçli tadqiqot quroliga aylantirdilar. Uning asosida differensial tenglamalar, variatsion hisob va differensial geometriya kabi mustaqil sohalar vujudga keldi.
Bu davrda Parij, Berlin, Peterburg akademiyalari va Kembrij unti yirik fan markazlariga aylangani, dastlabki ilmiy jur.lar naşr etila boşlagani M. taraqqiyotini jadallaştirdi. Proyektiv geometriya, ehtimollar nazariyasi, çiziqli algebra va sonlar nazariyasi rivoj topdi, kompleks sonlar keng qöllanib, kompleks özgaruvçili funksiyalar örganila boşladi.
19-a.da ham M.ning rivoji asosan 2 yönalişda: ham böyiga, ham ildizi tomon ösişda davom etdi. Bu davrda M.ning hozir un-tlar quyi kurslarining dasturini taşkil etadigan sohalari: matematik analiz, analitik geometriya va çiziqli algebra, differensial tenglamalar, haqiqiy hamda kompleks özgaruvçili funksiyalar nazariyalari asosan şakllanib böldi va ular asosida mutlaqo yangi ğoyalar kun tartibiga çiqa boşladi.
K. F. Gauss ldarajali köphad kompleks sonlar maydonida p ta çiziqli köpaytuvçiga ajralişini (algebraning asosiy teoremasini) bekamu kust isbotladi. Bir neça asr davomida 5darajali tenglamani yeçiş masalasi matematiklarni bezovta qilib kelgan edi. P. Ruffini va N. Abel bu tenglama ildizini uning koeffitsiyentlari orqali tört arifmetik amal hamda ildiz çiqariş orqali ifodalaş mumkin emasligini asosladilar. E. Galua esa Lagranj, Lejandr ğoyalarini davom ettirib, algebraik tenglama ana şu ma'noda yeçilişeçilmasligi masalasi iLdizlarining simmetrik funksiyalari tenglamaning koeffitsiyentlari orqali ifodalanişiga boğliq bölişini körsatdi. Bu yerda Galua birinçi marta simmetriyaning ölçovi vazifasini bajaradigan gruppa tuşunçasini qölladi. Bundan avvalroq şunga yaqin ğoya asosida Gauss sirkul va çizğiç yordamida muntazam köpburçak yasaş muammosini hal qilgan edi. Galua ğoyalaridan hosil bölgan maydonlar nazariyasi bunday yasaşlar masalasini umumiy holda hal qiliş im-konini berdi.
Gauss va Galua ğoyalari ta'sirida avval mustaqil rivojlangan sohalarning bir-biriga aralaşuvi boşlandi: kompleks özgaruvçili funksiyalar differensial tenglamalar va sonlar nazariyasiga, algebra — sonlar nazariyasi va kristallografiyaga tatbiq etildi. Ayniqsa, Kleyn har bir almaştirişlar guruppasiga alohida geometriya mos kelişi asoslangan, fan tarixiga «Erlangen dasturi» nomi b-n kirgan ma'ruzasidan söng matematik krnuniyatlarning tagida yotuvçi tub tamoyillar oçila boşladi.
Ayni paytda M.ning «ildizlari» ham ösdi. Evklid zamonidan rayem bölib kelgan tasdiqlarni qat'iy isbotlaş prinsipi ortga çekindi. Differensial va integral hisobni asoslamay qöllaş, ayniqsa, çeksiz amallar b-n erkin muomala qiliş paradokslar, anglaşilmovçiliklar keltirib çiqardi. Mac, I— I + 1 — 1 + 1 — ... yiğindining qiymati amallarni bajariş tartibiga qarab 0, 1 yoki S ga tengçiqar, log (— I)2 = logl2 tenglikka log a» = nloga formulani qöllab bölmas edi va h. k. Uzoq vaqt «differensial», «çeksiz kiçik» tuşunçalari ta'rifeiz qöllanilib kelindi, «funksiya», «uzluksiz» deganda nimani tuşuniş lozimligi ham munozaraga sabab böldi.
10-a. boşida O. Koşining differensial va integral hisob limit hamda uzluksiz tuşunçasi asosida bayon etilgan dareligi bu vaziyatga ança oydinlik kiritdi. Lekin uzluksiz funk-siyaning integrali mavjudligini is-botlaşda bu tuşunçalar kamlik qildi. Kemtikni töldiriş yölidagi urinişlar K. Veyerştrassni «haqiqiy son nima?» — degan savolga olib keldi. Ayni paytda Evklidning maşhur beşinçi postulatini isbotlaş uçun ming yillik samarasiz urinişlar noevklid geometriya ixtiro qilinişi b-n yakunlandi. Bu esa geometriya asoslarini çuqur taftiş qilişni talab eta boşladi.
19-a. oxiriga kelib matematika asoslarini mustahkamlaş böyiça katta qadamlar qöyildi: haqiqiy sonlar nazariyasi tugallandi (Veyerştrass, Dedekind), matematik mantiq şakllandi (Peano, Frege), funksiyalar nazariyasi yaratildi (Riman, Lebeg, Fubini, Stiltyes), geometriyaning aksiomalar sistemasi takomilga yetkazildi (Hilbert), töplam tuşunçasining ahamiyati anglandi, bu tuşunça asosida geometriya kabi butun matematikani ham qat'iy aksiomalar asosiga qurişga işonç paydo böldi.
19-a. oxiri — 20-a. boşlari M. tari-xida misli körilmagan yuksaliş yillari böldi. 1893 y.da Çikagoda Amerika qit'asi oçilişining 400 yilligi munosabati b-n keng xalqaro miqyosda M. kongressi ötkazildi. Kongressda dunyo matematiklari muntazam uçraşib, eng yangi natijalar haqida ma'ruzalar qilib turişlari zarurati e'tirof etildi. Dastlabki rasmiy xalqaro M. kongresslari 1897 y.da Syurixda va 1900 y.da Parijda ötkazildi. Syurix kongressida A. Puankarening ğoyalari yetakçi mavzuni taşkil etgan bölsa, Parij kongressida esa D. Hil-bert özining maşhur 23 muammosini bayon etdi. Puankare ğoyalari va Hil-bert konsepsiyasi M.ning 20-a. davomidagi taraqqiyotiga juda unumdor ta'sir körsatdi.
Ammo M. asoslariga çuqurroq kirişilgani sayin muammolar ham ötkirlaşib bordi — 20-a.ning boşlari M. tarixidagi eng çuqur inqirozga töqnaş keldi — M.ning asoslarida çuqur ziddiyatlar oçila boşladi (Burali — Forti, Rassel, Rişar, Grelling paradokslari). Ularni yengib ötiş yölidagi urinişlar natijasida töplamlar nazariyasining aksiomatik nazariyasi yaratildi (Sermelo, Frenkel, Bernays, J. Fon Neyman) va «M. binosi yaxlit mukammal loyiha asosiga qurilgani» haqidagi Hilbert tasavvuri qayta tiklandi.
20-a.ning 1-çoragida M.da qat'iy isbot ğoyasi batamom şakllandi. Şu asosda N. Burbaki butun M.ning asosiy qismini yagona usul — natijalarni eng umumlaşgan tarzda bayon qiliş maqsadida «Matematika elementlari» nomli köp jildli monografiyani çop etişga kirişdi. Burbaki tarğib qilgan uslub M.ning ayrim (abstrakt) sohalari rivojiga katta turtki berdi. Bir kator davlatlarda (jumladan, sobiq Ittifokda) M.ni öqitiş «burbakizm» uslubida isloh qilina boşladi, lekin muvaffaqiyatsiz çiqqan bu tajriba M. ta'limida hozirgaça yengib ötilmagan muammolarni keltirib çiqardi.
20-a. örtalaridan M. ikki yönalişda rivojlana bordi: bir tomondan, ilmiytexnik taraqqiyot ehtiyoji b-n differensial tenglamalar, matematik fizika, çekli M., ehtimollar nazariyasi, hisoblaş M.si klassik sohalar kengayib, öta tarmoqlaşib ketdi, ikkinçi tomondan, M.ning içkm rivojlaniş qonunlaridan kelib çiqqan masalalar birinçi örinda turuvçi, tatbiq doirasi juda tor, öta abstrakt sohalar (umumiy algebra, differensial va algebraik geometriya, topologiya, funksional analiz kabi) sohalar xilma-xil yönalişlarni vujudga keltirdi. Rivojlangan mamlakatlarda şakllangan yirik ilmiy maktablar tor sohalar böyiça yönalişlarga bölina boşladi. 20-a.gaça M. aloxida olimlarning maşğulot obyekti bölib kelgan bölsa, sönggi yuz yilda jamoaviy faoliyat tabiatini kasb eta boşladi. Ilmiy jur.lar, risolalar, ilmiy töplamlar, maqolalar soni geometrik progressiya böyiça ösa boşladi. Bu esa, öz navbatida, M. taraqqiyotida yana bir muammo — turli yönalişlar örtasida aloqalarning susayişi, bayon uslubining oğirlaşib ketişi, isbotlarning töğriligini tekşirib körişni hamda natijalarning töğriligi yo notöğriligiga işonç hosil qilişni murakkablaştirdi, mavzularning ğoyat maydalaşib ketişiga olib keldi. Yaxlit «matematik» kasbi «algebraist», «geometr», «topolog», «ehtimolçi» va «funksionalçi» kabi önlab ixtisoslarga, ularning har biri ham bir-birini deyarli tuşunmaydigan yuzlab tor şoxobça mutaxassislariga bölinib keta boşladi. Bu hodisani M. Klayn «M.ning yangi inqirozi» deb baholadi.
Garçi bu tabiatan taşkiliy inqiroz hali töliq yengib ötilmagan bölsada, 20-a. nihoyasida M.da yangi kötariliş yuz berdi, xususan, Fermaning katta teoremasi isbotlandi (E. Uayls), M.ning bir-biridan yiroq sohalari örtasida çuqur aloqalar oçila boşladi. M. sohasida ta'sis etilgan xalqaro Filds medaliga sazovor bölgan işlarning köpçiligi M.ning bir-biridan mustaqil uç-tört sohasiga oid tuşunça va usullar qöllanib olingan natijalar ekani «M. — yaxlit fan» degan konsepsiyaga qaytadan jon bağişladi. AQŞ lik matematik D. Knut tomonidan universal Tex matn muharriri işlab çiqilişi va elektron aloqa vujudga kelişi 21-a. da M. rivojlanişi uçun yangi ufklarni oçib bermoqda. Bugun P. Dirakning quyidagi ramziy ta'rifi yana ham örinliroq: «M. bu — istalgan tabiatli abstrakt tu-şunçalar b-n işlaş uçun maxsus moslaşgan quroldir. Bu borada uning qudratiga çeku çegara yöq».
Örta asrlarda hoz. Özbekiston hududi va uning atrofidagi mintaqada yuksalişga erişgan M. fani taraqqi-yoti 16-a. dan töxtab qoldi. 20-a.ning 2-çoragidan bu sohada yangi yuksaliş davri boşlandi. 1918 y.da taşkil etilgan Markaziy Osiyodagi birinçi un-t (hoz. Özbekiston milliy universiteti) da V. I. Romanovskiy M. professori böldi. Şarqona milliy qadriyatlarni çuqur hurmat qilgan, özbek tilini örgangan prof. iqtidorli yoşlardan professional matematiklar yetiştirişga kirişdi va Toşkent ehtimollar nazariyasi va matematik statistika maktabiga asos soldi. Bu maktabdan T. A. Sarimsoqov, S. H. Sirojiddinov, T. Azlarov, Ş. Farmonov kabi yuzdan ortiq mutaxassislar yetişib çikdi. Xalqaro Bernulli jamiyatining I kongressi Toşkentda ötkazilgani (1986 y.) bu sohada Özbekistonda olib borilayotgan tadqiqotlarning xalqaro miqyosda tan olinişi natijasidir.
20-a. 50-y.laridan boşlab respublika M.ning boşqa sohalari böyiça ham ilmiy maktablar vujudga keldi. T. A. Sarimsokrv funksional analiz sohasida, I. S. Arjanix, M. S. Salohiddi-nov va T. J. Jörayev — matematik fizika tenglamalari nazariyasi, I. S. Kukles — oddiy differensial tenglamalar nazariyasi, T. N. Qori-Niyoziy, S. H. Sirojiddinov, G. P. Matviyevskaya — matematika tarixi, V. Q. Qobulov, F. B. Abutaliyev , N. A. Bondarenko, T. Böriyev, A. F. Lavrik hisoblaş M.si va sonlar nazariyasi yönalişlariga asos soldilar. 20-a.ning sönggi çoragida optimal boşqaruv nazariyasi (N. Yu. Sotimov), invariantlar nazariyasi (J. Hojiyev), matematik fizikaning funksional usullari (Ş. O. Alimov), operator algebralari va kvant fizikasining matematik usullari (Ş. A. Ayupov) kup kompleks özgaruvçili funksiyalar nazariyasi (A. S. Sadullayev) kabi eng zamonaviy sohalarida tadqiqotlar yölga qöyildi, Özbekiston matematiklari Moskva, Sankt-Peterburg, Novosibirsk, Kiyev, Yekaterinburgdagi ilmiy markazlar b-n an'anaviy aloqalaridan taşqari yangi imkoniyatlarga ega böldilar. Buyuk Britaniya, Fransiya, AQŞ ilmiy markazlarida özbekistonlik matematiklar asarlari muntazam çop etila boşladi.
1999 y.da Özbekiston matematiklari jamiyati taşkil etildi (raisi — T. J. Jörayev), 1991 y.dan «Özbek matematika jurnali — Uzbekskiy matematiçeskiy jurnal», 2001 y.dan öquvçilar uçun «Matematika, fizika va informatika» jur. naşr etila boşladi. Bugungi kunda (2001 y.) res-publikada 70 dan ortiq fan d-ri, 300 dan ortiq fan nomzodi faoliyat körsatmoqda.
Ad.: Varden V., Probujdayuşayasya nauka, M., 1959; Istoriya matematiki (v 3 tomax), M, 1970—72; Matviyevskaya G. P., Uçeniye o çisle na srednevekovom Vostoke, T., 1967; Burbaki N., Oçerki po istorii matematiki, M., 1963.
Metodologiyasi: Puankare A., O nauke, M., 1990; Klayn M., Matematika. Utrata opredelyonnosti, M., 1984; Klayn M., Matematika. Poisk istini, M., 1988; Matematiçeskoye modelirovaniye, M., 1979; M. tarixi, töplamlar, T. 2000; Froydental G., Matematika kak pedagogiçeskaya zadaça, Çasti 1 i 2, M., 1982-83.
Abdulla A'zamov.
Asl matn (kirill, PDF'dagidek)
МАТЕМАТИКА (юн. mathematike, mathema — билим, фан) — аниқ мантией мушоҳадаларга асосланган билимлар ҳақидаги фан. Дастлабки объекти саноқ бўлгани учун кўпинча унга «қисобкитоб ҳақидаги фан» деб қаралган’ (бугунги М.да ҳисоблашлар, ҳатто формулалар устидаги амаллар жуда кичик ўрин эгаллайди). М. энг қад. фан соҳаси бўлиб, узоқ ривожланиш тари-хини босиб ўтган ва бунинг баробарида «М. нима?» деган саволга жавоб ҳам ўзгариб, чуқурлашиб борган. Юнонистонда М. деганда геометрия тушунилган. 9—13-а.ларда М. тушунчасини алгебра ва тригонометрия кенгайтирган. 17—18-а.ларда М.да аналитик геометрия, дифференциал ва интеграл ҳисоб асосий ўринни эгаллаганидан сўнг, то 20-а. бошларигача у «микдорий муносабатлар ва фазовий шакллар ҳақидаги фан» мазмунида таърифланган. 19-а. охири ва 20-а. бошларида турли геометриялар (Лобачевский геометрияси, Проектив геометрия, Риман гео-метрияси каби), алгебралар (Буль алгебраси, кватернионлар алгебраси, Кэли алгебраси каби), чексиз ўлчовли фазолар каби мазмунан жуда хилма-хил, кўпинча сунъий табиатли объектлар ўрганила бошланиши б-н М.нинг юқоридаги таърифи ўта тор бўлиб қолган. Бу даврда математик мантиқ ва тўпламлар назарияси асосида ўзига хос мушоҳада услуби ҳамда тили шаклланиши натижасида М.да энг асосий хусусият — қатъий мантиқий му-шоҳада, деган ғоя вужудга келди (Ж. Пеано, Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Хиль-берт). 20-а. ўрталарида Бурбаки тахаллуси остида М. таърифини қайта кўриб чиққан бир гуруҳ француз математиклари бу ғояни ривожлантириб, «М. — математик структуралар ҳақидаги фан» деган таъриф киритди. Бу ёндашув ав-валги таърифларга кўра кенгроқ ва аниқроқ бўлсада, барибир чекланган эди — структуралар ўртасидаги муносабатлар (мас, математика, категориялар назарияси, алгебраик топология), амалий ҳамда татбиқий назариялар, хусусан, физика, техника ва ижтимоий фанларда математик моделлар бу таъриф доирасига сиғавермас эди. Сўнгги асрда хилма-хил математик объектлар орасида жуда чуқур муносабатлар мавжудлиги ва айнан шунга асосланган натижалар М.нинг бундан буёнги тараққиётида асосий ўринни эгаллашини кўрсатмоқда. Электрон ҳисоблаш воситалари б-н бирга М. татбикларининг кенгайиши (биометрия, социометрия, эконометрика, психометрия ва б.), математик усуллар ҳаётининг турли соҳаларига жадал суръатлар б-н кириб бораётгани ҳам М. пред-метини ихчам таъриф б-н қамраб бўлмайдиган даражада кенгайтириб юборди. Демак, М. аксиоматик назариялар ва математик моделларни, улар орасидаги муносабатларни ўрганадиган, хулосалари қатъий мантиқий му-шоҳадалар орқали асосланадиган фандир.
Дастлаб оддий саноқ сонлар ва улар устидаги арифметик амаллардан бошланган математик билимлар умуминсоний тараққиёт б-н бирга кенгайиб ва чуқурлашиб борган. Энг қад. ёзма манбалардаёқ (мас, математик папирус лар) каерлар устида амаллар ва чизиқли тенгламаларни ечишга дойр мисоллар учрайди. Суғорма деҳқончилик, меъморликнинг ривожланиши, астро-номик кузатувларнинг аҳамияти ортиши геометрияга оид далиллар жамғарилишига олиб келган. Мас, Қад. Мисрда томонлари 3, 4 ва 5 бирлик бўлган учбурчак тўғри бурчакли булишидан фойдаланилган. Бу давр М.сининг олий ютуқларини мунтазам тўртбурчакли кесик пирамида ҳажмини ҳисоблаш қоидаси (ҳоз. ёзувда V— (а2 + ab + b2) Л/3 формулага мос келади) ва л= (16/9)2 тақрибий қийматини мисолларида кўриш мумкин.
Юнонистонда геометрик хоссалар фақат кузатув ва тажриба йўли б-нгина топилмай, аввалдан маълум хоссалардан келтириб чиқарилиши мумкинлиги ҳам пайқалган ҳамда дедуктив исбот ғояси ривожлантирилган (Фалес, Пифагор ва б.). Бу ғоянинг чўққиси Эвклиднинг «Негизлар» асарида гео-метриянинг аксиоматик қурилиши бўлди. Бу китоб М.нинг кейинги ривожига катта таъсир қилди ва 19-а. бошларигача мантиқий баённинг мукаммаллиги бўйича намуна бўлиб келди. Юнонлар М.ни геометрия б-н тенглаштириб, санъат даражасига кўтарганлар. Бунинг натижасида планиметрия ва стереометрия анча мукаммал даражага етган. Фақат 5 хил қавариқ мунтазам купёқликнинг мавжудлиги (Платон), квадратнинг томони б-н диагонали умумий ўлчовга эга эмаслиги (Пифагор), нисбатлар назариясига асосланган сон тушунчаси (Эвдокс), қамраш усули б-н эгри чизиқли шакллар юзи ва ей узунлигини, жисмлар ҳажмини ҳисоблаш, Герон формуласи, конус кесимлари (Аполлоний, Пергайос), стерографик проекция (Птолемей), геометрик ясашлар ва шу муносабат б-н турли эгри чизиқларнинг ўрганилиши юнон геометриясининг тараққиёт даражаси ҳақида тасаввур беради. Юнон олимлари қўйган бурчак трисекцияси, кубни иккилаш, дойра квадратураси, мунтазам кўпбурчак ясаш масалалари 19-а.га келиб ўз ечимини топди, мукаммал ва «дўст» сонлар ҳақидаги муаммолар эса ҳамон очиклигича қолмоқда. Айниқса, Архимед тадқиқотларида юнон М.си ўз давридан жуда илгарилаб кетган — у интеграл ҳисоб, оғирлик маркази ғояларини қўллаган. Юнон олимлари тригонометрияга оид дастлабки маълумотларга ҳам эга бўлганлар (Гиппарх, Птолемей), Диофантнинг «Арифметика» асарида сонлар назариясига оид масалалар қаралган.
Айни пайтда М. Қад. Хитой ва Ҳиндистонда ҳам тараққий топди. «Тўққиз китобли математика» номли хитой манбаида (мил. ав. 2—1 а.лар) натурал сонлардан квадрат ва куб илдиз чиқариш қоидалари берилган. Кейинроқ хитой олимлари чизиқли тенгламалар системаси ва чегирмалар назарияси б-н шу-ғулланиб, хусусан, «қолдиқлар хакидаги хитой теоремаси»ни топганлар. 5-а.да Цзу Чун-чжи к сони 3,1415926 б-н 3,1415927 оралиғида бўлишини кўрсатган.
Ҳиндистонда М. Ариабҳата (5-а.), Браҳмагупта (7-а.), Бхаскара (12-а.) ишларида ривожлантирилган. Ҳинд
М.сининг оламшумул ютуғи ўнли саноқ системаси ва 0 рақамининг ихтиро қилинишидир. Шунингдек, ҳинд олимлари манфий сонлар ва иррационал ифодалар б-н таниш бўлганлар, геометрияда муҳим натижаларни қўлга киритганлар.
Юнон, хитой ва ҳинд М.си бир-биридан деярли мустақил ҳолда мавжуд бўлган. 3—4-а.ларга келиб Юнонистонда фан инқирозга учрайди, мавжуд асарлар ҳам унутила бошлайди. Европа цивилизациясининг бундан кейин то Уйғониш давригача бўлган даври «зулмат асрлари» деб аталган (А. Мец). 7-а.да ислом дини тарқалиши ва Араб халифалиги вужудга келиши б-н фан ҳамда маданият юксалиши учун янги шароит туғилди. Ҳорун аррашид даврида халифалик пойтахти Бағдод йирик шаҳарга айланиб, бу ерга турли минтақалардан олимлар кела бошлайди. Улар дастлаб юнон, сурёний ва ҳинд тилидаги асарларни арабчага ўгириш б-н шуғулланган. Хуросон ва Мо-вароуннаҳр волийси этиб тайинланган Ҳорун аррашиднинг ўғли Маъмуннинг илмпарварлиги туфайли Марвга ўртаосиёлик олимлар йиғила бошлайди. 813 йилда халифаликка ўтирган Маъмун Марвдаги олимлар тўгарагини Бағдодга олиб кетади ва машҳур «Байт ул-ҳикмат» (Маъмун академияси)га асос солади. Бу илмий муассасага Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий раҳбарлик қилгани ҳақида маълумотлар сақланган. «Байт ул-ҳикмат»да, шунингдек, Ахмад ал-Фарғоний, Ибн Турк ал-Хутталий, Ҳабаш Ҳосиб ал-Марвазий, Мусо ибн Шокир ўғиллари каби кўплаб ўртаосиёлик олимлар фаолият кўрсатгани бу ўлкада араблар истилосига қадар ҳам фан ривожланганлиги, хусусан, ёш иктидорли олимлар чиқиши учун қулай муҳит мавжуд бўлганлигидан далолат беради.
9-а.дан фан тарихи «Мусулмон ренессанси» деб номланган янги юксалиш даврига киради. «Байт ул-хикмат»да Юнонистон, Ҳиндистон, Хоразм ва Хитойда жамгарилган билимлар синтез қилиниб, М. изчил ривожлантирила бошланди. Хоразмий тарқоқ билимларни тартибга келтириб, алгебрага асос солади. Унинг ўнли саноқ системаси баён қилинган асари туфайли бу қулай ҳисоблаш воситаси дунёга ёйилди. Асарлари ўқимишли бўлиши учун Хоразмий аник, ва лўнда баён услубини қўллаган. Шу туфайли унинг асарлари кенг тарқалган. Хоразмий услуби европалик таржимонлар томонидан муаллиф номи б-н алгоритм деб аталган.
Мусулмон Шарқи олимлари геометрияни ҳам ривожлантирган (Собит ибн Қурра, Абулвафо, Умар Хайём), тиргонометрияга фан сифатида асос солганлар (Ибн ал-Хайсам, Беруний, Тусий), хусусан, Аҳмад ал-Фарғоний томонидан Птолемейнинг стереографик проекция ҳақидаги теоремасининг исботланиши Бағдод академиясида геометрия чуқур ўрганилганини кўрсатди. Араб тилида ижод қилган математикларнинг учинчи ва тўртинчи даражали тенгламаларни геометрик усулда ечиш йўллари кейинчалик аналитик геометрия яратилишига туртки бўлган.
М. ривожланишида Хоразм Маъмун академияси (Ибн Ироқ, Беруний) ҳам муҳим роль ўйнаган. Шарқ М.си ривожининг чўққиси эса Самарқанд илмий мактаби даврига тўғри келади. Улуғбек ва унинг раҳбарлигидаги олимлар (Қозизода Румий, Ғиёсиддин Коший, Али Қушчи, Мирам Чалабий, Ҳусайн Биржаний ва б.) улкан расадхона қуриш, юлдузлар координаталари ва сайёралар ҳаракатини катта аникдикда кузатиш ишлари б-н бирга кузатув натижалари буйича ёритқичларнинг сферик координаталарини ҳисоблаш усулларини, интерполяция формулалари, кейинчалик Горнер схемаси деб аталган усулни ҳамда кетма-кет яқинлашишлар усулини ишлаб чиқадилар. Улуғбекнинг «Зижи жадиди Кўрагоний» асаридан ўта аниқликдаги тригонометрик функ-циялар жадваллари ҳам ўрин олган.
Улкан ҳажмдаги ҳисоблаш ишларини бажариш учун Улуғбек расадхонаси қошида махсус гуруҳ — ўзига хос ҳисоблаш маркази тузилган. Бунда мас, х = sin Г ни аниқлаш учун аввал геометрик усул б-н sin 3° ҳисобланган, сўнгра sin3a = 3sinacos2a — sin3a формула асосида x3-45xf0,785039343364006=0 тенглама тузилиб, sin Г= 0,0174524066437283571қиймати топилган. Коший айланага мунтазам 3-228 бурчак чизиш йўли б-н ж сонини вергулдан сўнг 17 хона аникликда ҳисоблаган.
16-а.дан Шаркда фан инқироз сари юз тутди. Ислом дунёси олимларининг асарлари 10—12-а.лардан Европагатарқалиб, таржима қилина бошланган ва М.нинг 16-а.дан жадал ривожланиш йўлига кириши учун замин ҳозирлаган. Жумладан, ал-Хоразмий, ал-Фарғоний асарлари Испания ва Италия орқали, Улуғбекнинг «Зижи жадиди Кўрагоний» асари Истанбул орқали Европага кириб борган. Бу асарлар таъсирида Италияда М.га қизиқиш кучайди (Л. Фибоначчи, Л. Пачоли, Н. Тарталья). Арифметик амаллар қаторидан даража, илдиз ва логарифм ўрин эгаллайди. Учинчи ва туртинчи даражали тенгламаларнинг илдизлари ҳақиқий бўлсада, манфий сондан квадрат илдиз воситасидагина ечиш мумкинлиги комплекс сонларга эҳтиёж туғдиради.
17-а.дан М. тарихинингЖ. Валлис, И. Кеплер, Р. Декарт, Б. Кавальери, П. Ферма, Ф. Виет ва Б. Паскаль номлари б-н боғлиқ янги даври бошланади. Математик белгилашлар кенг жорий этилади. Бу, ўз навбатида, М. ривожига ижобий таъсир этади, аналитик геометрия, проектив геометрия, эҳтимоллар назарияси ва сонлар назариясига асос солади. Бирин-кетин очила бошлаган ун-тларда М. асосий предметга айланади.
Бу даврда француз олими М. Мерсенн орқали дунё олимлари ўртасида олиб борилган ўзаро ёзишмалар туфайли дастлабки халқаро математиклар жамоаси вужудга келди, улар ўртасида илмий мусобақа муҳити кучайди, натижада янги объектлар (чизиқлар ва тенгламалар) тадқиқотга тортилди, экстремум топиш, уринма ясаш, юзларни ҳисоблаш, комбинаторикага оид янги масалалар қўйиш раем бўлди, функциялар, яъни ўзгариши бир-бири б-н боғлиқ катталиклар б-н ишлашга тўғри кела бошлади. Бундай масалаларни ечишда элементар усуллар етишмагани учун чексиз марта такрорланадиган амалларга мурожаат эта бошладилар. Б. Кавальери айланма жисмлар ҳажмини ҳисоблашда «бўлинмаслар усули»ни қўллади, Ф. Виет айниятни, Ж. Валлис 12.32.52.72,. тенгликни, Н. Меркатор формулани топди. И. Барроу эгри чизиқли т-рапеция юзи б-н уринманинг ўзгариши орасидаги муносабатни пайқади. 17-а. охирида бу йўналишдаги изланишлар дифференциал ва интеграл ҳисоб яратилишига олиб келади. Г. Лейбниц янги ҳисобга «чексиз кичик» катталиклар тушунчасини асос килиб олди — бундай катталиклар ўз ҳолича аниқ маънога эга бўлмасада, уларнинг нисбатлари ва чексиз йиғиндилари тайин қийматларга тенг чиқар эди. Лейбниц бу усул б-н геометриянинг аввалдан ечилмай келган кўплаб муаммоларини ҳал этиш мумкинлигини кўрсатди (1782—86 йй.).
И. Ньютон дифференциал ва интеграл ҳисоб ғоясига бошқа томондан — механика масалалари орқали ёндащди. Бу ерда ҳам аҳвол геометрияга ўхшаш эди: текис ҳаракатларни ўрганган Г. Галилей учун элементар геометрия ки-фоя қилган бўлса, мураккаброқ ҳаракатлар мураккаброқ чизиқларни текширишни талаб этар эди. И. Ньютон 1669 й.да бу мавзудаги тадқиқотлари жамланган «Флюксиялар методи» номли асарини И. Барроу ва Ж. Коллинзга тақдим этган, лекин у 1736 й.да нашр этилган.
18-а.да М. тараққиёти, асосан, дифференциал ва интеграл ҳисобни ривожлантириш ҳамда татбиқ этиш б-н боғлиқ бўлди. Бернуллилар оиласи, Эйлер, Д’аламбер, Лагранж, Лежандр ва Лаплас каби кўплаб атоқли олимлар янги соҳани атрофлича ривожлантириб, математик анализ номи б-н кучли тадқиқот қуролига айлантирдилар. Унинг асосида дифференциал тенгламалар, вариацион ҳисоб ва дифференциал геометрия каби мустақил соҳалар вужудга келди.
Бу даврда Париж, Берлин, Петербург академиялари ва Кембриж унти йирик фан марказларига айлангани, дастлабки илмий жур.лар нашр этила бошлагани М. тараққиётини жадаллаштирди. Проектив геометрия, эҳтимоллар назарияси, чизиқли алгебра ва сонлар назарияси ривож топди, комплекс сонлар кенг қўлланиб, комплекс ўзгарувчили функциялар ўрганила бошлади.
19-а.да ҳам М.нинг ривожи асосан 2 йўналишда: ҳам бўйига, ҳам илдизи томон ўсишда давом этди. Бу даврда М.нинг ҳозир ун-тлар қуйи курсларининг дастурини ташкил этадиган соҳалари: математик анализ, аналитик геометрия ва чизиқли алгебра, дифференциал тенгламалар, ҳақиқий ҳамда комплекс ўзгарувчили функциялар назариялари асосан шаклланиб бўлди ва улар асосида мутлақо янги ғоялар кун тартибига чиқа бошлади.
К. Ф. Гаусс лдаражали кўпҳад комплекс сонлар майдонида п та чизиқли кўпайтувчига ажралишини (алгебранинг асосий теоремасини) бекаму куст исботлади. Бир неча аср давомида 5даражали тенгламани ечиш масаласи математикларни безовта қилиб келган эди. П. Руффини ва Н. Абель бу тенглама илдизини унинг коэффициентлари орқали тўрт арифметик амал ҳамда илдиз чиқариш орқали ифодалаш мумкин эмаслигини асосладилар. Э. Галуа эса Лагранж, Лежандр ғояларини давом эттириб, алгебраик тенглама ана шу маънода ечилишечилмаслиги масаласи иЛдизларининг симметрик функциялари тенгламанинг коэффициентлари орқали ифодаланишига боғлиқ бўлишини кўрсатди. Бу ерда Галуа биринчи марта симметриянинг ўлчови вазифасини бажарадиган группа тушунчасини қўллади. Бундан аввалроқ шунга яқин ғоя асосида Гаусс циркуль ва чизғич ёрдамида мунтазам кўпбурчак ясаш муаммосини ҳал қилган эди. Галуа ғояларидан ҳосил бўлган майдонлар назарияси бундай ясашлар масаласини умумий ҳолда ҳал қилиш им-конини берди.
Гаусс ва Галуа ғоялари таъсирида аввал мустақил ривожланган соҳаларнинг бир-бирига аралашуви бошланди: комплекс ўзгарувчили функциялар дифференциал тенгламалар ва сонлар назариясига, алгебра — сонлар назарияси ва кристаллографияга татбиқ этилди. Айниқса, Клейн ҳар бир алмаштиришлар гуруппасига алоҳида геометрия мос келиши асосланган, фан тарихига «Эрланген дастури» номи б-н кирган маърузасидан сўнг математик крнуниятларнинг тагида ётувчи туб тамойиллар очила бошлади.
Айни пайтда М.нинг «илдизлари» ҳам ўсди. Эвклид замонидан раем бўлиб келган тасдиқларни қатъий исботлаш принципи ортга чекинди. Дифференциал ва интеграл ҳисобни асосламай қўллаш, айниқса, чексиз амаллар б-н эркин муомала қилиш парадокслар, англашилмовчиликлар келтириб чиқарди. Mac, I— I + 1 — 1 + 1 — ... йиғиндининг қиймати амалларни бажариш тартибига қараб 0, 1 ёки S га тенгчиқар, log (— I)2 = logl2 тенгликка log a» = nloga формулани қўллаб бўлмас эди ва ҳ. к. Узоқ вақт «дифференциал», «чексиз кичик» тушунчалари таърифеиз қўлланилиб келинди, «функция», «узлуксиз» деганда нимани тушуниш лозимлиги ҳам мунозарага сабаб бўлди.
10-а. бошида О. Кошининг дифференциал ва интеграл ҳисоб лимит ҳамда узлуксиз тушунчаси асосида баён этилган дарелиги бу вазиятга анча ойдинлик киритди. Лекин узлуксиз функ-циянинг интеграли мавжудлигини ис-ботлашда бу тушунчалар камлик қилди. Кемтикни тўлдириш йўлидаги уринишлар К. Вейерштрассни «ҳақиқий сон нима?» — деган саволга олиб келди. Айни пайтда Эвклиднинг машҳур бешинчи постулатини исботлаш учун минг йиллик самарасиз уринишлар ноэвклид геометрия ихтиро қилиниши б-н якунланди. Бу эса геометрия асосларини чуқур тафтиш қилишни талаб эта бошлади.
19-а. охирига келиб математика асосларини мустаҳкамлаш бўйича катта қадамлар қўйилди: ҳақиқий сонлар назарияси тугалланди (Вейерштрасс, Дедекинд), математик мантиқ шаклланди (Пеано, Фреге), функциялар назарияси яратилди (Риман, Лебег, Фубини, Стильтьес), геометриянинг аксиомалар системаси такомилга етказилди (Ҳильберт), тўплам тушунчасининг аҳамияти англанди, бу тушунча асосида геометрия каби бутун математикани ҳам қатъий аксиомалар асосига қуришга ишонч пайдо бўлди.
19-а. охири — 20-а. бошлари М. тари-хида мисли кўрилмаган юксалиш йиллари бўлди. 1893 й.да Чикагода Америка қитъаси очилишининг 400 йиллиги муносабати б-н кенг халқаро миқёсда М. конгресси ўтказилди. Конгрессда дунё математиклари мунтазам учрашиб, энг янги натижалар ҳақида маърузалар қилиб туришлари зарурати эътироф этилди. Дастлабки расмий халқаро М. конгресслари 1897 й.да Цюрихда ва 1900 й.да Парижда ўтказилди. Цюрих конгрессида А. Пуанкаренинг ғоялари етакчи мавзуни ташкил этган бўлса, Париж конгрессида эса Д. Ҳиль-берт ўзининг машҳур 23 муаммосини баён этди. Пуанкаре ғоялари ва Ҳиль-берт концепцияси М.нинг 20-а. давомидаги тараққиётига жуда унумдор таъсир кўрсатди.
Аммо М. асосларига чуқурроқ киришилгани сайин муаммолар ҳам ўткирлашиб борди — 20-а.нинг бошлари М. тарихидаги энг чуқур инқирозга тўқнаш келди — М.нинг асосларида чуқур зиддиятлар очила бошлади (Бурали — Форти, Рассел, Ришар, Греллинг парадокслари). Уларни енгиб ўтиш йўлидаги уринишлар натижасида тўпламлар назариясининг аксиоматик назарияси яратилди (Цермело, Френкель, Бернайс, Ж. Фон Нейман) ва «М. биноси яхлит мукаммал лойиҳа асосига қурилгани» ҳақидаги Ҳильберт тасаввури қайта тикланди.
20-а.нинг 1-чорагида М.да қатъий исбот ғояси батамом шаклланди. Шу асосда Н. Бурбаки бутун М.нинг асосий қисмини ягона усул — натижаларни энг умумлашган тарзда баён қилиш мақсадида «Математика элементлари» номли кўп жилдли монографияни чоп этишга киришди. Бурбаки тарғиб қилган услуб М.нинг айрим (абстракт) соҳалари ривожига катта туртки берди. Бир катор давлатларда (жумладан, собиқ Иттифокда) М.ни ўқитиш «бурбакизм» услубида ислоҳ қилина бошлади, лекин муваффақиятсиз чиққан бу тажриба М. таълимида ҳозиргача енгиб ўтилмаган муаммоларни келтириб чиқарди.
20-а. ўрталаридан М. икки йўналишда ривожлана борди: бир томондан, илмийтехник тараққиёт эҳтиёжи б-н дифференциал тенгламалар, математик физика, чекли М., эҳтимоллар назарияси, ҳисоблаш М.си классик соҳалар кенгайиб, ўта тармоқлашиб кетди, иккинчи томондан, М.нинг ичкм ривожланиш қонунларидан келиб чиққан масалалар биринчи ўринда турувчи, татбиқ доираси жуда тор, ўта абстракт соҳалар (умумий алгебра, дифференциал ва алгебраик геометрия, топология, функционал анализ каби) соҳалар хилма-хил йўналишларни вужудга келтирди. Ривожланган мамлакатларда шаклланган йирик илмий мактаблар тор соҳалар бўйича йўналишларга бўлина бошлади. 20-а.гача М. алохида олимларнинг машғулот объекти бўлиб келган бўлса, сўнгги юз йилда жамоавий фаолият табиатини касб эта бошлади. Илмий жур.лар, рисолалар, илмий тўпламлар, мақолалар сони геометрик прогрессия бўйича ўса бошлади. Бу эса, ўз навбатида, М. тараққиётида яна бир муаммо — турли йўналишлар ўртасида алоқаларнинг сусайиши, баён услубининг оғирлашиб кетиши, исботларнинг тўғрилигини текшириб кўришни ҳамда натижаларнинг тўғрилиги ё нотўғрилигига ишонч ҳосил қилишни мураккаблаштирди, мавзуларнинг ғоят майдалашиб кетишига олиб келди. Яхлит «математик» касби «алгебраист», «геометр», «тополог», «эҳтимолчи» ва «функционалчи» каби ўнлаб ихтисосларга, уларнинг ҳар бири ҳам бир-бирини деярли тушунмайдиган юзлаб тор шохобча мутахассисларига бўлиниб кета бошлади. Бу ҳодисани М. Клайн «М.нинг янги инқирози» деб баҳолади.
Гарчи бу табиатан ташкилий инқироз ҳали тўлиқ енгиб ўтилмаган бўлсада, 20-а. ниҳоясида М.да янги кўтарилиш юз берди, хусусан, Ферманинг катта теоремаси исботланди (Э. Уайлс), М.нинг бир-биридан йироқ соҳалари ўртасида чуқур алоқалар очила бошлади. М. соҳасида таъсис этилган халқаро Фильдс медалига сазовор бўлган ишларнинг кўпчилиги М.нинг бир-биридан мустақил уч-тўрт соҳасига оид тушунча ва усуллар қўлланиб олинган натижалар экани «М. — яхлит фан» деган концепцияга қайтадан жон бағишлади. АҚШ лик математик Д. Кнут томонидан универсал Тех матн муҳаррири ишлаб чиқилиши ва электрон алоқа вужудга келиши 21-а. да М. ривожланиши учун янги уфкларни очиб бермоқда. Бугун П. Диракнинг қуйидаги рамзий таърифи яна ҳам ўринлироқ: «М. бу — исталган табиатли абстракт ту-шунчалар б-н ишлаш учун махсус мослашган қуролдир. Бу борада унинг қудратига чеку чегара йўқ».
Ўрта асрларда ҳоз. Ўзбекистон ҳудуди ва унинг атрофидаги минтақада юксалишга эришган М. фани тараққи-ёти 16-а. дан тўхтаб қолди. 20-а.нинг 2-чорагидан бу соҳада янги юксалиш даври бошланди. 1918 й.да ташкил этилган Марказий Осиёдаги биринчи ун-т (ҳоз. Ўзбекистон миллий университети) да В. И. Романовский М. профессори бўлди. Шарқона миллий қадриятларни чуқур ҳурмат қилган, ўзбек тилини ўрганган проф. иқтидорли ёшлардан профессионал математиклар етиштиришга киришди ва Тошкент эҳтимоллар назарияси ва математик статистика мактабига асос солди. Бу мактабдан Т. А. Саримсоқов, С. Ҳ. Сирожиддинов, Т. Азларов, Ш. Фармонов каби юздан ортиқ мутахассислар етишиб чикди. Халқаро Бернулли жамиятининг I конгресси Тошкентда ўтказилгани (1986 й.) бу соҳада Ўзбекистонда олиб борилаётган тадқиқотларнинг халқаро миқёсда тан олиниши натижасидир.
20-а. 50-й.ларидан бошлаб республика М.нинг бошқа соҳалари бўйича ҳам илмий мактаблар вужудга келди. Т. А. Саримсокрв функционал анализ соҳасида, И. С. Аржаних, М. С. Салоҳидди-нов ва Т. Ж. Жўраев — математик физика тенгламалари назарияси, И. С. Куклес — оддий дифференциал тенгламалар назарияси, Т. Н. Қори-Ниёзий, С. Ҳ. Сирожиддинов, Г. П. Матвиевская — математика тарихи, В. Қ. Қобулов, Ф. Б. Абуталиев , Н. А. Бондаренко, Т. Бўриев, А. Ф. Лаврик ҳисоблаш М.си ва сонлар назарияси йўналишларига асос солдилар. 20-а.нинг сўнгги чорагида оптимал бошқарув назарияси (Н. Ю. Сотимов), инвариантлар назарияси (Ж. Ҳожиев), математик физиканинг функционал усуллари (Ш. О. Алимов), оператор алгебралари ва квант физикасининг математик усуллари (Ш. А. Аюпов) куп комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси (А. С. Садуллаев) каби энг замонавий соҳаларида тадқиқотлар йўлга қўйилди, Ўзбекистон математиклари Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Киев, Екатеринбургдаги илмий марказлар б-н анъанавий алоқаларидан ташқари янги имкониятларга эга бўлдилар. Буюк Британия, Франция, АҚШ илмий марказларида ўзбекистонлик математиклар асарлари мунтазам чоп этила бошлади.
1999 й.да Ўзбекистон математиклари жамияти ташкил этилди (раиси — Т. Ж. Жўраев), 1991 й.дан «Ўзбек математика журнали — Узбекский математический журнал», 2001 й.дан ўқувчилар учун «Математика, физика ва информатика» жур. нашр этила бошлади. Бугунги кунда (2001 й.) рес-публикада 70 дан ортиқ фан д-ри, 300 дан ортиқ фан номзоди фаолият кўрсатмоқда.
Ад.: Варден В., Пробуждающаяся наука, М., 1959; История математики (в 3 томах), М, 1970—72; Матвиевская Г. П., Учение о числе на средневековом Востоке, Т., 1967; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, М., 1963.
Методологияси: Пуанкаре А., О науке, М., 1990; Клайн М., Математика. Утрата определённости, М., 1984; Клайн М., Математика. Поиск истины, М., 1988; Математическое моделирование, М., 1979; М. тарихи, тўпламлар, Т. 2000; Фройденталь Г., Математика как педагогическая задача, Части 1 и 2, М., 1982-83.
Абдулла Аъзамов.
Matn ÖzME'dan o'zgartirişsiz olingan, faqat yozuvi yangi alifboga o'girilgan. Qisqartmalar asl holida. Xato ko'rsangiz — xabar bering.