Topologiya

Manba: ÖzME, 8-jild (2000–2005), «Özbekiston milliy ensiklopediyasi» Davlat ilmiy naşriyoti · elektron nusxa: ziyouz.com kutubxonasi, 499–501-b. — ziyouz.com

Topologiya (lot. topos — joy, örin va ...logiya) — mat.ning istalgan tabiatli obyektlar şakli bilan boğliq eng umumiy xossalarni örganuvçi sohasi hamda şu sohaning eng muhim tuşunçalaridan biri.

Geometriyaning bir neça ming yillik tarixiy rivojlanişi davomida köplab tayin çiziklar va sirtlar xossalari örganib kelingan bölsa, 19-a.ning sönggi çoragida, bir tomondan, B. Riman, S. Li kabi matematiklar çiziq va sirt tuşunçalarini umumlaştiriş natijasida ança keng geometrik obraz — qurama (köpxillik ham deyiladi) tuşunçasini kiritdilar; ikkinçi tomondan, funksiyalarning turli sinflarini örganiş natijasida fransuz matematiklari A. Lebeg (1875— 1941), E. Borel (18711956) va b. işlarida analisis situs (örinjoy tahlili) deb nomlangan yönaliş şakllana boşladi. Xuddi şu davrda italiyalik matematik E. Betti (1823—98) köpyokdilar haqidagi Eyler teoremasini umumlaştirib, köp ölçovli köpyoqsimon (hoz. atamaga köra, çiziqli bölakli) quramalarning murakkablik darajasini belgilovçi körsatkiç — Betti sonlarini kiritdi. Bir oz keyin J. A. Puankare yana ham umumiyroq gomologik va fundamental gruppa tuşunçalarini qöllaş natijasida T. mat.ning keyingi taraqqiyotida muhim rol öynaşini başorat qildi. 20-a. boşlarida nemis matematigi F. Xausdorf (1868—1942) topologik fazo tuşunçasiga ta'rif berdi. Şundan söng T.ning jadal sur'atlar bilan rivojlaniş davri boşlandi. 20-a. ning örtalariga kelib T. algebra bilan bir qatorda butun mat.ning poydevorini taşkil qilişi, mat. sohalari u yoki bu darajadagi nisbatda olingan algebra bilan T. tuşunça va ğoyalarining sintezidan iborat bölişi e'tirof etildi.

Agar istalgan tabiatli X töplam öz holiça qaralsa, uning elementlari orasida heç bir munosabat bölmaydi. Agar X töplam metrik fazo bölsa, u ğolda nuqtalar orasida masofani ölçaş va şu bilan boğliq tuşunçalarni örganiş imkoniyati tuğiladi. Bunga nisbatan ğoyat keng tuşunça — nuqtaning qismtöplamga yaqinligi yoki nuqtaning atrofi tuşunçasidir. Mas., matematik analizning asosiy goyasi — funksiyalarning lokal (ya'ni nuqtaning atrofidagi tabiati bilangina belgilanadigan) xossalari va ulardan kelib çiqadigan natijalarni örganişdan iborat. Bunda a nuqtaning (a—ye,yaQe) körinişdagi intervallar majmuasi asosiy rol öynaydi. Agar X töplamning har bir nuqtasi uçun quyidagi aksiomalarni kanoatlantiradigan atroflari majmuasi körsatilgan bölsa, X topologik fazo böladi; 1) har bir nukta özining ixtiyoriy atrofiga tegişli; 2) agar U nuktaning atrofi hamda UcW bölsa, u holda W ham şu nuqganing atrofi. Şunday qilib, topologik fazo — biror yösinda T. bilan ta'minlangan töplamdir. Bunda ana şu majmualar tizimi X fazoning T.si deyiladi. Mas., X töplam [a, ] kesmada aniklangan uzluksiz funksiyalardan taşkil topgan bölsa, f(x) funksiyaning atrofi qanday funksiyalardan tuzilişiga qarab xossalari bir-biridan farq qiladigan topologik fazolar hosil böladi.

Odatda, bir töplam bir neça usulda topologik fazoga aylantirilişi mumkin. Bunda ularning topologiyalari nuqtalar atroflari majmualari boyligiga qarab özaro taqqoslanadi — bir T. ikkinçisiga nisbatan kuçliroq (boyroq), ikkinçisi esa kuçsizroqdeb ataladi. Mas., barça x nuqta uçun bittagina atrof X ning özidan iborat bölsa, eng kuçeiz T., aksinça x ni öz içiga oladigan istalgan töplam uning atrofi deb e'lon qilinsa, eng kuçli (diskret) T. hosil böladi. Şuningdek, T. atroflar örniga oçiq töplamlar, yopiq töplamlar, çegara, yopilma, töplamning oçiq yadrosi, atroflar bazasi kabi xilmaxil usulda aniqlanişi mumkin — ularning bari özaro tengkuçlidir. Istalgan töplamda turli usulda xilmaxil T. kiritiş mumkinligi T. mat.ning universal sohasi ekanligidan dalolat beradi.

T.ning eng muhim tuşunçalaridan biri — bir topologik fazoning ikkinçi topologik fazoga uzluksizdir. Bunda Ğning x0 nuqtadagi uzluksizligi şunday ta'riflanadi: J[x0) ning ixtiyoriy V atrofi uçun xd nuqta f(U)cV şartni qanoatlantiruvçi U atrofga ega. T. tatbiqlarida bunga nisbatan teskari yondaşuv ham köp qöllanadi: agar f:X>Y akslantiriş berilgan bölib, X (yoki Y) topologik fazo bölsa, u holda Yda (moye ravişdan X da) Ğakslantiriş uzluksiz böladigan eng kuçsiz (moye ravişda eng kuçli) T. kiritiş mumkin. Bu usulni umumlaştiriş yöli bilan topologik fazolar va uzluksiz akslantirişlar ustida qismfazo, Dekart köpaytmasi, topologik fazolarni yelimlaş kabi muhim amallar anikdanadi.

Şunday qilib T. — topologik fazolar, ularning uzluksiz akslanmalari hamda ular bilan boşqa matematik obyektlar orasidagi munosabatlarni örganuvçi fandir. Agar A'va K topologik fazolar örtasida özi ham, teskarisi ham uzluksiz bölgan özaro bir qiymatli akslantiriş örnatiş mumkin bölsa, X va Y gomeomorf fazolar deyiladi. Bunday fazolar T. nuqtai nazaridan bir-biridan farq qilmaydi — biriga oid xossalar ikkinçisida ham örinli böladi. Şuning uçun mana şunday, ya'ni gomeomorf akslantirişda özgarmaydigan xossalar topologik invariantlar deyiladi. Topologik fazoning kompaktligi, ölçami, tutaş (boğlamli) komponentalar soni, bir nuqtaga yiğiştirilişi, sirtlarning bir yoki ikki tomonliligi, uç ölçovli fazodagi çizikdarning tugilgan yoki tugilmaganligi topologik invariant namunalaridir. T.da invariantlar vositasida murakkab muammolar hal etiladi.

Topologik fazolar, ularning akslantirişlari va invariantlarining xilmaxilligi tufayli 20-a.ning 2 yarmidan T. tarmoqlanib rivojlana boşlagan. Umumiy (nazariy abstrakt) T.da topologik fazolar qöşimça aksiomalar bilan örganiladi. Kombinatorik (çiziklibölakli) T. triangulyatsiyalanadigan fazolarni tekşiradi. Algebraik T.da topologik masalalarni algebra masalasiga keltirişga asoslangan usullar rivojlantiriladi. Differensial T.da differensial geometriya va T. çegarasidagi masalalar, maxsusliklar nazariyasida silliq akslantirişlarning xususiyatlari, Knazariyada T.ning differensial operatorlarga tatbiqi örganiladi. T., şuningdek, nazariy va kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi kabi sohalarda muhim tatbiklarga ega.

Ad.: Pontryagin L. S, Osnovö kombinatornoy topologii, M., 1976; Aleksandrov P. S, Vvedeniye v topologiyu, M., 1980.

Abdulla A'zamov.

Asl matn (kirill, PDF'dagidek)

ТОПОЛОГИЯ (лот. topos — жой, ўрин ва ...логия) — мат.нинг исталган табиатли объектлар шакли билан боғлиқ энг умумий хоссаларни ўрганувчи соҳаси ҳамда шу соҳанинг энг муҳим тушунчаларидан бири.

Геометриянинг бир неча минг йиллик тарихий ривожланиши давомида кўплаб тайин чизиклар ва сиртлар хоссалари ўрганиб келинган бўлса, 19-а.нинг сўнгги чорагида, бир томондан, Б. Риман, С. Ли каби математиклар чизиқ ва сирт тушунчаларини умумлаштириш натижасида анча кенг геометрик образ — қурама (кўпхиллик ҳам дейилади) тушунчасини киритдилар; иккинчи томондан, функцияларнинг турли синфларини ўрганиш натижасида француз математиклари А. Лебег (1875— 1941), Э. Борель (18711956) ва б. ишларида analisis situs (ўринжой таҳлили) деб номланган йўналиш шакллана бошлади. Худди шу даврда италиялик математик Э. Бетти (1823—98) кўпёкдилар ҳақидаги Эйлер теоремасини умумлаштириб, кўп ўлчовли кўпёқсимон (ҳоз. атамага кўра, чизиқли бўлакли) қурамаларнинг мураккаблик даражасини белгиловчи кўрсаткич — Бетти сонларини киритди. Бир оз кейин Ж. А. Пуанкаре яна ҳам умумийроқ гомологик ва фундаментал группа тушунчаларини қўллаш натижасида Т. мат.нинг кейинги тараққиётида муҳим роль ўйнашини башорат қилди. 20-а. бошларида немис математиги Ф. Хаусдорф (1868—1942) топологик фазо тушунчасига таъриф берди. Шундан сўнг Т.нинг жадал суръатлар билан ривожланиш даври бошланди. 20-а. нинг ўрталарига келиб Т. алгебра билан бир қаторда бутун мат.нинг пойдеворини ташкил қилиши, мат. соҳалари у ёки бу даражадаги нисбатда олинган алгебра билан Т. тушунча ва ғояларининг синтезидан иборат бўлиши эътироф этилди.

Агар исталган табиатли X тўплам ўз ҳолича қаралса, унинг элементлари орасида ҳеч бир муносабат бўлмайди. Агар X тўплам метрик фазо бўлса, у ғолда нуқталар орасида масофани ўлчаш ва шу билан боғлиқ тушунчаларни ўрганиш имконияти туғилади. Бунга нисбатан ғоят кенг тушунча — нуқтанинг қисмтўпламга яқинлиги ёки нуқтанинг атрофи тушунчасидир. Мас., математик анализнинг асосий гояси — функцияларнинг локал (яъни нуқтанинг атрофидаги табиати билангина белгиланадиган) хоссалари ва улардан келиб чиқадиган натижаларни ўрганишдан иборат. Бунда а нуқтанинг (а—е,яҚе) кўринишдаги интерваллар мажмуаси асосий роль ўйнайди. Агар X тўпламнинг ҳар бир нуқтаси учун қуйидаги аксиомаларни каноатлантирадиган атрофлари мажмуаси кўрсатилган бўлса, X топологик фазо бўлади; 1) ҳар бир нукта ўзининг ихтиёрий атрофига тегишли; 2) агар U нуктанинг атрофи ҳамда UcW бўлса, у ҳолда W ҳам шу нуқганинг атрофи. Шундай қилиб, топологик фазо — бирор йўсинда Т. билан таъминланган тўпламдир. Бунда ана шу мажмуалар тизими X фазонинг Т.си дейилади. Мас., X тўплам [а, Ь] кесмада аникланган узлуксиз функциялардан ташкил топган бўлса, f(x) функциянинг атрофи қандай функциялардан тузилишига қараб хоссалари бир-биридан фарқ қиладиган топологик фазолар ҳосил бўлади.

Одатда, бир тўплам бир неча усулда топологик фазога айлантирилиши мумкин. Бунда уларнинг топологиялари нуқталар атрофлари мажмуалари бойлигига қараб ўзаро таққосланади — бир Т. иккинчисига нисбатан кучлироқ (бойроқ), иккинчиси эса кучсизроқдеб аталади. Мас., барча х нуқта учун биттагина атроф X нинг ўзидан иборат бўлса, энг кучеиз Т., аксинча х ни ўз ичига оладиган исталган тўплам унинг атрофи деб эълон қилинса, энг кучли (дискрет) Т. ҳосил бўлади. Шунингдек, Т. атрофлар ўрнига очиқ тўпламлар, ёпиқ тўпламлар, чегара, ёпилма, тўпламнинг очиқ ядроси, атрофлар базаси каби хилмахил усулда аниқланиши мумкин — уларнинг бари ўзаро тенгкучлидир. Исталган тўпламда турли усулда хилмахил Т. киритиш мумкинлиги Т. мат.нинг универсал соҳаси эканлигидан далолат беради.

Т.нинг энг муҳим тушунчаларидан бири — бир топологик фазонинг иккинчи топологик фазога узлуксиздир. Бунда Ғнинг х0 нуқтадаги узлуксизлиги шундай таърифланади: J[x0) нинг ихтиёрий V атрофи учун хд нуқта f(U)cV шартни қаноатлантирувчи U атрофга эга. Т. татбиқларида бунга нисбатан тескари ёндашув ҳам кўп қўлланади: агар f:X>Y акслантириш берилган бўлиб, X (ёки Y) топологик фазо бўлса, у ҳолда Yда (мое равишдан X да) Ғакслантириш узлуксиз бўладиган энг кучсиз (мое равишда энг кучли) Т. киритиш мумкин. Бу усулни умумлаштириш йўли билан топологик фазолар ва узлуксиз акслантиришлар устида қисмфазо, Декарт кўпайтмаси, топологик фазоларни елимлаш каби муҳим амаллар аникданади.

Шундай қилиб Т. — топологик фазолар, уларнинг узлуксиз аксланмалари ҳамда улар билан бошқа математик объектлар орасидаги муносабатларни ўрганувчи фандир. Агар А’ва К топологик фазолар ўртасида ўзи ҳам, тескариси ҳам узлуксиз бўлган ўзаро бир қийматли акслантириш ўрнатиш мумкин бўлса, X ва Y гомеоморф фазолар дейилади. Бундай фазолар Т. нуқтаи назаридан бир-биридан фарқ қилмайди — бирига оид хоссалар иккинчисида ҳам ўринли бўлади. Шунинг учун мана шундай, яъни гомеоморф акслантиришда ўзгармайдиган хоссалар топологик инвариантлар дейилади. Топологик фазонинг компактлиги, ўлчами, туташ (боғламли) компоненталар сони, бир нуқтага йиғиштирилиши, сиртларнинг бир ёки икки томонлилиги, уч ўлчовли фазодаги чизикдарнинг тугилган ёки тугилмаганлиги топологик инвариант намуналаридир. Т.да инвариантлар воситасида мураккаб муаммолар ҳал этилади.

Топологик фазолар, уларнинг акслантиришлари ва инвариантларининг хилмахиллиги туфайли 20-а.нинг 2 ярмидан Т. тармоқланиб ривожлана бошлаган. Умумий (назарий абстракт) Т.да топологик фазолар қўшимча аксиомалар билан ўрганилади. Комбинаторик (чизиклибўлакли) Т. триангуляцияланадиган фазоларни текширади. Алгебраик Т.да топологик масалаларни алгебра масаласига келтиришга асосланган усуллар ривожлантирилади. Дифференциал Т.да дифференциал геометрия ва Т. чегарасидаги масалалар, махсусликлар назариясида силлиқ акслантиришларнинг хусусиятлари, Кназарияда Т.нинг дифференциал операторларга татбиқи ўрганилади. Т., шунингдек, назарий ва квант механикаси, нисбийлик назарияси каби соҳаларда муҳим татбикларга эга.

Ад.: Понтрягин Л. С, Основў комбинаторной топологии, М., 1976; Александров П. С, Введение в топологию, М., 1980.

Абдулла Аъзамов.

Matn ÖzME'dan o'zgartirişsiz olingan, faqat yozuvi yangi alifboga o'girilgan. Qisqartmalar asl holida. Xato ko'rsangiz — xabar bering.