Algebra

Algebra (arab.— al-Jabr) - mat,ning bir sohasi. Buyuk özbek olimi Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy «Al-jabr val-muqobala» asarida dunyoda birinçi marta A.ni izçil bayon qildi. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, algebra nomi b-n jahonga tarqalgan. A. tiklaşni, ya'ni manfiyhadlarni tenglamaning ikkinçi tomoniga ötkazişni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni taşlab yuborişni bildiradi. A.ning asosiy masalasi — töplamlarda kiritilgan matematik amallarni örganiş. Şunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga öxşamaydi (mas, örin almaştiriş yoki assotsiativlik qonuniga böysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikada tayin sonlar ustida birinçi tört amal örganiladi. A.da esa bu amallarning har qanday son va son bölmagan boşqa matematik obyektlar uçun örinli umumiy xossalari tekşiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umumiy bölişiga erişiş uçun miqdorlarning qiymatlari harflar b-n belgilanib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari körsatiladi, ifodalar şaklini özgartiriş va tenglamalarni yeçiş qoidalari örganiladi. Umar Xaöyom A.ni tenglamalar yeçiş haqidagi fan deb ta'riflagan edi. Uning bu ta'rifi 18-a. oxirigaça kuçini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda A. yangi yönalişlar b-n kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida öz ahamiyatini saqlab ham kolli. Qad. misrliklar ança murakkab ma-salalarni yeçganlar (arifmetik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning ta'rifi, ularning yeçilişi oğzaki söz 6-n faqat sonli misollar uçun berilar edi. Bu misollar şakl jihatidan 1-va 2-darajali teiglamalarni yeçişda umumiy usullarning töplanayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi. Bu yerda geometrik tekşirişlar mantiq tomonidan şunday yölga qöyilgan ediki, unda har bir aytilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuçli ta'siri natijasida arifmetika va A. masalalari geom. tili b-n bayon etilardi. Mas, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor köpaytmasini töğri törtburçakning yuzi deb qaralardi. Hoz. zamon mat.sida miqdorning öz-öziga köpaytmasini «kvadrat» deb ataş geometrik tilning hozirgaça saqlanib kelişidan namunadir. Yunonlar erişgan natijalarni töldiriş, umumlaştiriş va taraqqiy ettirişda Turkiston matematiklari katta hissa qöşdilar. Ildizlarni hisoblaş, bir qator tenglamalarni taqribiy yeçiş usullari, Nyuton binomi umumiy formulasining söz b-n ta'riflangan ifodasini beriş Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. 9— 10-a. larda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yaşagan va fan sohasida özlarining yirik ilmiy işlari b-n dunyoga nom taratgan edilar. 1074 y.da Umar Xayyomning «al-Jabr» degan boşqa bir kitobida çiziqli va kvadrat tenglamalarni yeçiş, uçinçi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul b-n izlaş va b. juda köp masalalarni yeçiş yöllari körsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham öşa zamon uçun alohida ahamiyatga ega bölgan arifmetika va A. masalalarining yeçimlari berilgan. Uning mat.ga, xususan, A. va arifmetikaga oid işlarida sonlarni kvadrat va kubga kötariş amallari tekşirilgan. Qad. dunyo tarixidan to al-Xorazmiy davriga qadar matematika A. va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boşlab A. matematikaning alohida bölimi bölib ajraldi. 15-a.da Samarqandda maşhur Uluğbek rasadxonasining taşki l topişi astronomiyaning taraqqiy etişi b-n bir qatorda mat.ning rivojlanişiga ham sabab böldi. A.ning taraqqiyoti uçun amallarni söz b-n ifoda etişdan köra ular örniga qulay belgilar topib işlatiş zarur edi. Bu iş juda sekinlik b-n bordi: qad. misrliklar kasr uçun alohida belgi işlatişgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uçun (yun. isos — teng) işlatgan. Italyan olimlari plyus va minus sözlari örnida ustiga alohida çiziq çizilgan va t harflarini işlatişgan. 15-a. oxiriga kelgandagina hoz. = va — işoralari kiritilgan. Bundan keyingi davrda masalada qatnaşadigan miqdorlar, şuningdek noma'lumlar harflar b-n belgilanadigan böldi. 16-a. örtalarida hoz. zamon algebrasidagi timsollar töla takomillaştirildi. A.da bunday töla timsollarga ötişga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tuşuntiriş, biror umumiy fikrni ta'riflaş mumkin emas edi. 16-a.da noma'lum miqdorlar uçun unli A, Ye,... harflari, ma'lum miqdorlar uçun esa unsiz V, S, D,... harflari işlatilib, öşa vaqtda kiritilgan matematik amallar b-n boğlandi. Şunday qilib, hoz. zamon A.si uçun xos bölgan harfiy formulalar birinçi martaba paydo böldi. Har qanday tayin son örniga timsoliy belgilarning kiritilişi, harflardan arifmetika amallarini yeçişda foydalanilişi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu b-n formulalar tili bölgan matematik vosita hosil qilindi. Şu vositasiz 17-a.da oliy mat.ning yorqin taraqqiyoti, çeksiz kiçik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini beriş masalalarini xayolga keltiriş ham mumkin emas edi. 17-a. da Dekartning analitik geometriya tuzişda tutgan yöli A.da paydo bölayotgan man-fiy son tuşunçasini geometrik tasvirlaş b-n birga, manfiy sonlarning fandagi örnini mustahkamladi. Noma'lum sonlar uçun x,y,z harflarini işlatiş Dekartdan boşlangan bölib, hozir ham şunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelişi A.ning katta yutuği böldi. Agar yunonlar A. masalalarini geom. tilida tahlil qilgan bölsalar, endi, aksinça, geom. masalalari A. formulalariga köçiriladigan bölib koldi. 17-a. oxiri — 18-a. boşlarida işlab çiqaruvçi kuçlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlarning mat. oldiga qöygan talablari munosabati b-n differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boşladi. Bunga A.ning bosib ötgan tarixiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab bergan edi. Bu davrda A. b-n matematik tahlil bir-biri b-n jips munosabatda taraqqiy qilardi. A.ga funksional boğlaniş masalalari kira boşladi. Tahlil esa A.ning boy formulalari töplamidan foydalana bordi. 18—19-a. larda A. taxlildan fark qilib, diskret va çekli miqdorlar b-n iş körardi: bu davrda A. asosan köphadlar b-n şuğullanardi. 2-darajali tenglamalarni yeçiş munosabati b-n A.da irratsional va kompleks sonlarning fanga kiritilişi uçun ehtiyoj tuğiladi. Bu sonlarning kiritilişi b-n 18-a.da A. hoz. zamon örta maktabida ötilayotgan A. hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgilardan foydalanib turli sonlar tizimlarining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi b-n yeçişning umumiy metodlarini urganadigan A. klassik algebra deb yuritiladi. Klassik A.da kv. tenglamani yeçiş qad. dunyodan ma'lum, ammo uçinçi va törtinçi darajali tenglamalarni yeçiş formulalarini esa faqat 16-a.da italyan matematiklari Kardano, Tartalya va Fer-rari yaratib berdi. Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koef-fitsiyentlari orqali ratsional amallar b-n radikallarda ifoda etadi. Da-rajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham şu yösinda ifodalaş masalasi köp vaqn olimlar diqqatini öziga jal b qilib keldi. Oradan 300 i. ötgaç, 19-a.da Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori algebraik tenglamalar ildizlarini koeffitsiyentlari orqali ratsional amallar b-n radikal körinişida ifoda etiş mumkin emasligini isbot kildilar (q. Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama b-n uning ildizlarini almaştiriş guruhini beradi va tenglamani tekşirişni bu guruhni tekşirişga keltiradi. Algebraik tenglamalar ildizlarining soni va ularning qaysi sohaga tegişli bölişi masalalari ham köp vaqtdan beri olimlarning diqqat markazida turgan masalalardandir. D'Alamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kompleks ildizga ega ekanligini isbotladilar (q. Oliy algebraning asosiy teoremasi). 19-a. boşlarida mavhum sonlarning tabiatini örganiş tufayli matematik amal tuşunçasi kengaya boşladi. Ingliz matematiklari birinçi bölib matematik amalning mavhum tuşunçasiga keldilar va bu tuşunçani yangi matematik obyektlarga tatbiq qiliş b-n A. sohasini kengaytir-dilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkompleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ bölmagan algebralar va algebraik geometriya taşkil topdi va rivojlandi, yangi algebraik obyektlar, çunonçi xalqa, maydonlar paydo buddi. Bular 19-a. 1-yarmidagi A.ni jonlantirdi. Öşa vaqtgaça A. metodlari va natijalari A.ning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yeçişdan iborat edi. 1850 y.dan keyin esa ahvol özgardi, yangi izlanişlar borgan sari hoz. kunda algeb-raning asosiy muammosi hisoblangan mat. amallarni örganişdan iborat böla bordi. 19-a. 2-yarmida algebraik sonlar, invariantlar va guruhlar nazariyasi vujudga keldi. 20-a.da algebra mat.ning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biol., genetika kabi boşqa fanlarga ham jadal kirib keldi, ya'ni matematika va b. köpgina sohalarni algebralaştiriş jarayoni röyobga keldi. Ayni paytda A. va mat.ning turli sohalari çegarasida mat. ning yangi yönalişlari, çunonçi A. va funksional analiz örtasida Banax A. lari:, operatorlar Alari nazariyasi, A. b-n topologiya örtasida gomologak A. va h.k. paydo böldi. A. fanining rivojlanişiga bir qança özbek olimlari, çunonçi: T. Sarimsoqov, Ş. Ayupov, J. Hojiyev va b. öz hissalarini qöşdilar. A. ehgimollar nazariyasi, topologiyaga oid topologik yarim maydonlar va umuman tartiblangan A.lar nazariyasini birinçi marta Özbekistonda T. Sarimsoqov öz şogirdlari b-n yaratdi.

Şavkat Ayupov.